10. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Geometrik Şekiller

Üçgende Açıortaylar ve Teğet Çemberler

Üç yolun oluşturduğu üçgen biçimli bir parkın içine, üç yola da eşit uzaklıkta bir çeşme nereye yapılır? Cevap açıortaylarda gizli. Bu konuda iç ve dış açıortay teoremlerini benzerlikle çıkaracak, açıortay üzerindeki her noktanın açının kollarına eşit uzaklıkta olduğunu göreceksin ve üçgenin iç teğet çemberi ile dış teğet çemberlerinin merkezlerini ve yarıçaplarını bulacaksın.

Kazanımlar

• MAT.10.1.2. Açıortay üzerindeki bir noktanın açının kollarına eşit uzaklıkta olduğunu gösterir ve bu özelliği problemlerde kullanır.
• MAT.10.1.2. İç açıortay teoremini benzerlik yoluyla ispatlar ve kenar uzunluklarını bulmakta kullanır.
• MAT.10.1.2. Dış açıortay teoremini çıkarır; iç ve dış açıortayın birbirine dik olduğunu gösterir.
• MAT.10.1.2. İç açıortayların kesişim noktasının iç teğet çemberin merkezi olduğunu açıklar ve r = Alan / u bağıntısıyla yarıçapı hesaplar.
• MAT.10.1.2. Dış teğet çemberin merkezini belirler ve r_a = Alan / (u − a) bağıntısıyla yarıçapını hesaplar.
• MAT.10.1.2. Açıortayı ve teğet çemberleri pergel-cetvel, kâğıt katlama veya dinamik geometri yazılımıyla inşa eder.

Konu anlatımı

1. İki yola eşit uzaklıkta durmak

2. Açıortay üzerindeki noktanın kollara uzaklığı

3. İç açıortay teoremi

4. Dış açıortay ve dış açıortay teoremi

5. İç teğet çember

6. Dış teğet çember

7. Açıortayı ve teğet çemberi inşa etmek

8. Çözümlü örnekler

9. Keşfet, varsay, sına

10. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları

Anahtar terimler

İç açıortay

Bir iç açıyı iki eşit açıya bölen ışındır; üçgende karşı kenarı komşu kenarların oranında böler.

Dış açıortay

Bir dış açıyı iki eşit açıya bölen doğrudur; aynı köşenin iç açıortayına diktir.

İç açıortay teoremi

Açıortayın karşı kenarda ayırdığı parçaların oranının komşu kenarlar oranına eşit olduğunu söyler.

İç teğet çember

Üçgenin üç kenarına da teğet olan, merkezi iç açıortayların kesiştiği nokta olan çemberdir.

Dış teğet çember

Bir kenara ve diğer iki kenarın uzantılarına teğet olan, üçgenin dışındaki çemberdir.

Yarı çevre

Üçgenin çevresinin yarısı olan u = (a + b + c) / 2 değeridir.

Teğet noktası

Çemberin bir doğruya değdiği noktadır; yarıçap bu noktada doğruya diktir.

Eşit uzaklık

Bir noktanın iki doğruya (kola) aynı uzaklıkta olmasıdır; açıortay bu noktaların kümesidir.

Örnek soru

$ABC$ üçgeninde $|AB|=6$ cm, $|AC|=9$ cm ve $|BC|=10$ cm'dir. $A$ köşesinin iç açıortayı $[BC]$'yi $D$ noktasında kestiğine göre $|BD|$ kaç cm'dir?

1. $3$
2. $5$
3. $6$
4. $9$
5. $4$

Doğru cevap: E

Çözüm

1. İç açıortay teoremi: $\dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}=\dfrac69=\dfrac23$.
2. $|BD|=2k$, $|DC|=3k$ ve $5k=10$, $k=2$; $|BD|=4$ cm.
Doğru cevap: E. $6$ cm, $|DC|$'dir; $5$ ise açıortayın kenarı ortadan böldüğünü sanmanın sonucudur.

10. Sınıf Matematik: tüm konular