11. Sınıf Matematik · 5. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Fonksiyonlarda Bileşke ve İşlemler
Fonksiyonlarda Dört İşlem
Bir işletmenin kârı gelirden gideri çıkararak, birim maliyeti ise toplam gideri üretilen sayıya bölerek bulunur. Bu hesapların her biri iki fonksiyon arasında yapılan bir işlemdir: gelir ve gider fonksiyonunun farkı, gider fonksiyonunun üretim miktarına oranı. Bu konuda iki fonksiyonu toplamayı, çıkarmayı, çarpmayı ve bölmeyi öğrenecek, bu işlemlerin ne zaman yapılabildiğini (ortak tanım kümesi, bölmede payda sıfır olmaması) inceleyecek, sonuçları cebirsel ve grafik temsille ifade edecek ve işlemin grafiği nasıl dönüştürdüğünü sözel olarak açıklayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.11.3.8.a. İki fonksiyonla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yapılabilme koşullarını (ortak tanım kümesi; bölmede paydanın sıfır olmaması) inceler.
- MAT.11.3.8.b. Fonksiyonlarda dört işlemi uygun cebirsel temsil ((f+g)(x) = f(x) + g(x) gibi) ve grafik temsille (aynı x için iki yüksekliğin işleme girmesi) ifade eder.
- MAT.11.3.8.b. Gerçek yaşam bağlamlarında (gelir-gider-kâr, birim maliyet) dört işlemi uygun fonksiyonlarla modeller.
- MAT.11.3.8.c. Dört işlemin referans fonksiyonu nasıl dönüştürdüğünü (kaydırma, ölçekleme, yansıma) sözel olarak açıklar.
- MAT.11.3.8.c. Sadeleştirmeden sonra tanım kümesinin neden değişmediğini, işlem sonucunun grafiğinde boş (delikli) noktaların neden oluştuğunu açıklar.
Konu anlatımı
1. Kâr, gelir ve gider: fonksiyonlar arası işlem
2. Tanımlar ve tanım kümesi
3. Cebirsel temsil ve sadeleşme
4. Grafik temsil: aynı x için iki yükseklik
5. Dönüştürdüğü fonksiyonlar bağlamında sözel yorum
6. Çözümlü örnekler
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
8. Özet
Anahtar terimler
- Fonksiyonlarda toplama
- (f + g)(x) = f(x) + g(x); tanım kümesi D(f) ∩ D(g).
- Fonksiyonlarda çıkarma
- (f − g)(x) = f(x) − g(x); sıra önemlidir, g − f farklıdır.
- Fonksiyonlarda çarpma
- (f · g)(x) = f(x) · g(x); iki yüksekliğin çarpımıdır, bileşke değildir.
- Fonksiyonlarda bölme
- (f/g)(x) = f(x)/g(x); yalnızca g(x) ≠ 0 olan ortak tanım noktalarında yapılır.
- Ortak tanım kümesi
- İşlemin yapılabildiği noktaların kümesi: D(f) ∩ D(g).
- Paydanın sıfırı
- Bölmede g(x) = 0 olan x değeri; tanım kümesinden çıkarılır, sadeleşse bile çıkarılmış kalır.
- Delikli nokta
- Sadeleşme sonrası grafikte tanımsız kalan, boş (içi dolu olmayan) nokta.
- Başabaş noktası
- Gelir ile giderin eşit olduğu, kâr fonksiyonunun sıfır olduğu nokta.
Örnek soru
$f(x) = 2x - 1$ ve $g(x) = x^2 + 3$ olduğuna göre $(f\cdot g)(2)$ kaçtır?
- $10$
- $13$
- $3$
- $21$
- $7$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. $(f\cdot g)(2) = f(2)\cdot g(2)$ olduğundan iki fonksiyonun $x = 2$'deki değerleri ayrı ayrı bulunur.
2. $f(2) = 2\cdot 2 - 1 = 3$ ve $g(2) = 4 + 3 = 7$.
3. Çarpım: $3\cdot 7 = 21$.
Doğru cevap: D. A şıkkı toplamdır ($3 + 7 = 10$). B şıkkı bileşkedir: $(f\circ g)(2) = f(7) = 13$. C ve E şıkları yalnız $f(2)$ ya da $g(2)$ değeridir.