11. Sınıf Matematik · 5. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Fonksiyonlarda Bileşke ve İşlemler
Bileşke Fonksiyonların Nitel Özellikleri
Bir fonksiyonun grafiğini sağa kaydırıp iki katına uzattığında aslında bir bileşke kurarsın: önce x'i değiştirir, sonra çıktıyı değiştirirsin. Bu konuda bileşke fonksiyonun tanım ve değer kümesini, artan-azalan olduğu aralıkları, çift ya da tek olup olmadığını, bire bir olup olmadığını, sıfırlarını, işaretini ve en küçük-en büyük değerini iç ve dış fonksiyonun özelliklerinden yola çıkarak tahmin edeceksin. Tahminlerini grafikle sınayacak, cebirle ispatlayacak ve hangi yöntemin hangi durumda daha kullanışlı olduğunu değerlendireceksin.
Kazanımlar
- MAT.11.3.7.d. Bileşke fonksiyonun işareti, artanlığı-azalanlığı, en küçük-en büyük değeri, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği ve örtenliği hakkında iç ve dış fonksiyonun özelliklerine dayanan varsayımlarda bulunur.
- MAT.11.3.7.e. Referans bir fonksiyon ile ondan türetilen fonksiyonun bileşkesinin getirdiği dönüşümleri cebirsel ve grafik temsillerle eş zamanlı yorumlayıp örüntüleri genelleştirir (aynı yönlü-farklı yönlü kuralı gibi).
- MAT.11.3.7.f. Genellemenin varsayımlarını sağlayıp sağlamadığını kontrol eder; iç fonksiyonun değer kümesi gibi koşulların kuralı nasıl etkilediğini belirler.
- MAT.11.3.7.g. Genellemelerinden elde ettiği önermeleri örnek, grafik ya da cebirsel gösterimle doğrulanabilecek biçimde sunar.
- MAT.11.3.7.ğ. Bileşke fonksiyonu gerçek yaşam bağlamında (fiyat-talep-kâr zinciri gibi) kullanışlılığı açısından değerlendirir.
- MAT.11.3.7.h. Önermeleri grafikle doğrular ya da cebirsel olarak ispatlar.
- MAT.11.3.7.ı. Doğrulama ve ispat yöntemlerinin (örnek, grafik, cebir) farklı durumlardaki kullanışlılığını değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Dönüşümler de birer bileşkedir
2. Tanım kümesi ve değer kümesi
3. Artan-azalan: aynı yönlü, farklı yönlü kuralı
4. Çift ve tek: simetrinin bileşkeyle taşınması
5. Bire birlik: yatay doğru testi
6. Sıfırlar, işaret, en küçük ve en büyük değer
7. Doğrulama yöntemleri: örnek, grafik, cebir
8. Gerçek yaşamda bileşke: fiyat, talep ve kâr
9. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
10. Özet
Anahtar terimler
- İç fonksiyon
- Bileşkede önce çalışan fonksiyon; (f∘g)(x) = f(g(x)) içinde g. Yatay kaydırma/ölçekleme iç fonksiyonla yapılır.
- Dış fonksiyon
- Bileşkede iç fonksiyonun çıktısını girdi olarak alan fonksiyon; düşey ölçekleme ve kaydırma dış fonksiyonla yapılır.
- Artanlık-azalanlık kuralı
- İç ve dış fonksiyon aynı yönlüyse bileşke artan, farklı yönlüyse azalandır (ilgili kümelerde tamamen artan/azalan olmaları koşuluyla).
- Çift fonksiyon
- F(−x) = F(x) olan, grafiği y-eksenine göre simetrik fonksiyon; iç fonksiyon çiftse bileşke çifttir.
- Tek fonksiyon
- F(−x) = −F(x) olan, grafiği orijine göre simetrik fonksiyon; iç ve dış fonksiyon tekse bileşke tektir.
- Bire birlik
- Farklı girdilerin farklı çıktılara gittiği özellik; yatay doğrular grafiği en fazla bir noktada keser.
- Karşı örnek
- Bir genellemenin yanlış olduğunu göstermek için yeterli olan tek bir çelişen durum.
- Değer kümesi (bileşke)
- Dış fonksiyonun, iç fonksiyonun değer kümesine uygulanmasıyla bulunan küme: f(Değer(g)).
Örnek soru
$f(x) = 3x + 1$ ve $g(x) = -2x + 5$ fonksiyonları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- $f\circ g$ artan, $g\circ f$ azalandır.
- $f\circ g$ azalan, $g\circ f$ artandır.
- $f\circ g$ ve $g\circ f$ artandır.
- $f\circ g$ ve $g\circ f$ ne artan ne azalandır.
- $f\circ g$ ve $g\circ f$ azalandır.
Doğru cevap: E
Çözüm
1. $f$ artan ($3>0$), $g$ azalan ($-2<0$): bir fonksiyon artan, öbürü azalan, yani farklı yönlü.
2. Farklı yönlü iç-dış çiftinde bileşke azalandır. Bu iki sıra için de geçerlidir.
3. Doğrulama: $(f\circ g)(x) = 3(-2x+5)+1 = -6x + 16$ ve $(g\circ f)(x) = -2(3x+1)+5 = -6x + 3$; ikisinin eğimi de negatif.
Doğru cevap: E. A ve B şıkları sıranın bileşkenin yönünü değiştireceğini sanır; oysa yön yalnızca iç ve dış fonksiyonun yönlerinin çarpımına bağlıdır.