11. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Logaritma: Üstel Fonksiyonun Tersi

$2^x = 1000$ denkleminin çözümü hangi sayıdır? $2^9 = 512$ ve $2^{10} = 1024$ olduğundan $x$, 9 ile 10 arasındadır; ama hangi sayı? Bu soruyu cevaplayacak yeni bir araca ihtiyaç var: logaritma. Bu konuda üstel fonksiyonda bağımlı ve bağımsız değişkenin yer değiştirmesinden logaritmik fonksiyona ulaşacak, $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$ denkliğini ve tanımlı olma koşullarını öğrenecek, logaritmanın neden bulunduğunu tarihsel ve günlük bağlamlarda değerlendireceksin.

Kazanımlar

• MAT.11.3.4.a. Üstel fonksiyonun tablosunda bağımlı ve bağımsız değişkenin yer değiştirmesiyle elde edilen ilişkinin ne olduğuna dair varsayımda bulunur.
• MAT.11.3.4.b. $y = a^x$ ve $y = \log_a x$ fonksiyonlarının tablo ve grafik örüntülerini listeleyerek ters fonksiyon ilişkisini genelleştirir.
• MAT.11.3.4.c. Genellemesini farklı tabanlarda ve sayılarda ($y = x$ doğrusuna göre simetri, noktaların yer değiştirmesi) kontrol eder.
• MAT.11.3.4.ç. $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$ önermesini sunar; $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$ tanımlılık koşullarını gerekçelendirir.
• MAT.11.3.4.ç. $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $a^{\log_a b} = b$ ve $\log_a a^x = x$ sonuçlarını tanımdan çıkarır; basit logaritma değerlerini ve denklemlerini bulur.
• MAT.11.3.4.d. Logaritmanın gerçek yaşamdaki kullanışlılığını (büyük sayıları sıkıştırma, üs bulma) ve tarihsel gelişimini (Napier, Gelenbevi İsmail Efendi) değerlendirir.

Konu anlatımı

1. Soru: üssü nasıl buluruz?

2. Tablodan logaritmaya: değişkenlerin yer değiştirmesi

3. Tanımlı olma koşulları

4. Ters fonksiyon ilişkisi ve $y = x$ simetrisi

5. Çözümlü örnekler

6. Logaritma neden bulundu? Tarihsel ve günlük bağlam

7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları

8. Özet ve bağlantılar

Anahtar terimler

Logaritma

$a^c = b$ eşitliğindeki $c$ üssüdür; $\log_a b = c$ ile gösterilir.

Taban

Logaritmada $a$ sayısı; $a > 0$ ve $a \neq 1$ olmalıdır.

Ters fonksiyon

$f$ fonksiyonunun girdi-çıktısını tersine çeviren fonksiyon; $f$ bire bir ve örten olmalıdır.

Logaritmik fonksiyon

$y = \log_a x$ ($a>0$, $a\neq 1$, $x>0$) kuralıyla verilen, $y = a^x$ fonksiyonunun tersi olan fonksiyon.

$y = x$ simetrisi

Bir fonksiyon ile tersinin grafiklerinin $y = x$ doğrusuna göre birbirinin simetriği olması.

Onluk logaritma

Tabanı 10 olan logaritma; $\log x$ biçiminde yazılır.

Doğal logaritma

Tabanı $e$ olan logaritma; $\ln x$ ile gösterilir.

Düşey asimptot

$y = \log_a x$ eğrisinin yaklaşıp hiç kesmediği $x = 0$ doğrusu.

Örnek soru

$\log_2 32$ ifadesinin değeri kaçtır?

1. 4
2. 5
3. 16
4. 6
5. 30

Doğru cevap: B

Çözüm

1. $\log_2 32 = c$ olsun. Tanımdan $2^c = 32$.
2. $32 = 2^5$ olduğundan $c = 5$.
Cevap: B. C şıkkı $32/2 = 16$ gibi bölme yapmaktan, E şıkkı $32 - 2$ işleminden gelir; logaritma "kaçıncı kuvvet?" sorusunun cevabıdır.

11. Sınıf Matematik: tüm konular