11. Sınıf Matematik · 4. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Logaritmik Fonksiyon ve İşlem Özellikleri
Logaritmanın en büyük gücü, çarpmayı toplamaya, kuvveti çarpmaya çevirmesidir. Bu konuda $f(x) = \log_a x$ fonksiyonunun grafiğini ve nitel özelliklerini inceleyecek, $g(x) = k \cdot \log_a(mx + r) + s$ dönüşümlerini çözümleyecek, logaritmanın işlem özelliklerini önce örüntülerden tahmin edip sonra cebirsel olarak ispatlayacaksın.
Kazanımlar
- MAT.11.3.5.a. $f(x) = \log_a x$ referans fonksiyonunu grafik ve cebirsel temsili üzerinde işlem yaparak $g(x) = k \cdot \log_a(mx + r) + s$ biçimindeki fonksiyonlara dönüştürür.
- MAT.11.3.5.b. Dönüşmüş logaritmik fonksiyonun tanım kümesini ($mx + r > 0$), düşey asimptotunu, sıfırını, işaretini ve artanlığını-azalanlığını belirler.
- MAT.11.3.5.c. $\log$ (10 tabanı) ve $\ln$ (e tabanı) gösterimlerini kullanır; $a > 1$ ve $0 < a < 1$ durumlarında grafik şeklini yorumlar.
- MAT.11.3.5.ç. Çarpım, bölüm, kuvvet ve taban değiştirme özelliklerini örüntülerden genelleyip kontrol eder.
- MAT.11.3.5.e. İşlem özelliklerini üstel ifadelerin özelliklerinden yararlanarak cebirsel olarak ispatlar; yanlış genellemeleri ($\log(u+v) = \log u + \log v$ gibi) karşı örnekle çürütür.
- MAT.11.3.5.f. Logaritma tablosundaki değerlerden ($\log 2 \approx 0{,}301$ gibi) yararlanarak yeni logaritma değerlerini ve çok büyük sayıların basamak sayısını bulur.
Konu anlatımı
Logaritmik referans fonksiyon $f(x) = \log_a x$
Dönüşümler: $g(x) = k \cdot \log_a(mx + r) + s$
Çözümlü örnekler: fonksiyon
Örüntüden genellemeye: işlem özellikleri
İşlem özelliklerinin cebirsel ispatı
Logaritma tablosu ile hesap
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Özet ve bağlantılar
Anahtar terimler
- Logaritmik fonksiyon
- $f(x) = \log_a x$ ($a>0$, $a\neq 1$, $x>0$); $y = a^x$ fonksiyonunun tersi.
- Onluk logaritma
- Tabanı 10 olan logaritma; $\log x$ ile gösterilir.
- Doğal logaritma
- Tabanı $e$ olan logaritma; $\ln x$ ile gösterilir.
- Düşey asimptot
- Logaritmik eğrinin yaklaşıp kesmediği düşey doğru; $g(x) = k\log_a(mx+r)+s$ için $x = -r/m$.
- Çarpım özelliği
- $\log_a(uv) = \log_a u + \log_a v$; çarpmayı toplamaya çevirir.
- Bölüm özelliği
- $\log_a(u/v) = \log_a u - \log_a v$.
- Kuvvet özelliği
- $\log_a u^n = n\log_a u$; üs, çarpan olarak öne çıkar.
- Taban değiştirme
- $\log_a u = \log_c u / \log_c a$; tabanı hesap kolaylığı için değiştirmeye yarar.
- Basamak sayısı
- $N$ sayısı $d$ basamaklı ise $d - 1 \leq \log N < d$ olur.
Örnek soru
$g(x) = \log_2(x - 3) + 1$ fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- $(-\infty, 3)$
- $[3, \infty)$
- $(1, \infty)$
- $(3, \infty)$
- $\mathbb{R}$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Logaritması alınan ifade pozitif olmalı: $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$.
2. Tanım kümesi $(3, \infty)$; düşey asimptot $x = 3$.
Cevap: D. C şıkkı $s = 1$ değerini tanım kümesiyle karıştırır; $+1$ yalnızca dikey kaymadır ve tanım kümesini etkilemez. B şıkkı, $x = 3$ için $\log_2 0$ tanımsız olduğundan yanlıştır.