11. Sınıf Matematik · 3. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometrik Denklemler
Eğik düzlemde kayan bir kutunun ivmesi, eğik atılan bir topun menzili, dönme dolapta kabinin belli bir yüksekliğe ulaştığı an... Bu soruların hepsinde bir açıyı ya da bir zamanı, bir trigonometrik değer verildiğinde geri bulmak gerekir. Bu konuda $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tan x=a$ ve $f(mx)=a$ biçimindeki denklemleri birim çember, grafik, özel değerler ve özdeşliklerle çözecek, çözümleri belli bir aralıkta ve genel biçimde yazacak, gerçek problemleri trigonometrik denkleme dönüştürüp yorumlayacaksın. Bu konuda denklemlerde trigonometrik fonksiyonların yalnızca birinci kuvvetleri kullanılır.
Kazanımlar
- MAT.11.3.2. $\sin x=a$, $\cos x=a$ ve $\tan x=a$ denklemlerinin verilen aralıktaki çözüm kümesini birim çember ve özel değerlerle bulur.
- MAT.11.3.2. Denklemlerin genel çözümünü periyodu kullanarak $x=\alpha+2k\pi$ ($\tan$ için $x=\alpha+k\pi$) biçiminde yazar.
- MAT.11.3.2. $f(mx)=a$ biçimindeki ($m=1,2,3$) denklemleri çözer; çözüm sayısını periyotla ilişkilendirir.
- MAT.11.3.2. $a$ nın değerine göre çözüm olup olmadığını tanım ve değer kümesiyle yorumlar.
- MAT.11.3.2. $g(x)=0$ ve $g(x)=h(x)$ biçiminde birinci kuvvetten denklemleri (ör. $2\sin x-1=0$, $\sin x=\cos x$) sadeleştirerek çözer ve grafikle destekler.
- MAT.11.3.2. Eğik düzlem, eğik atış, sarkaç ve dönme dolap problemlerini trigonometrik denkleme dönüştürüp çözer ve çözümün bağlamda anlamlı olup olmadığını değerlendirir.
Konu anlatımı
Denklem nedir, çözüm ne demektir?
Temel denklemler: sin x = a, cos x = a, tan x = a
f(mx) = a: açının katsayısı m olursa
Birinci kuvvetten denklemleri sadeleştirmek
Problemlere uygulama
Simülasyonla keşif ve görev
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Trigonometrik denklem
- Bilinmeyenin trigonometrik fonksiyon içinde yer aldığı denklem.
- Esas çözüm
- sin için [−π/2, π/2], cos için [0, π], tan için (−π/2, π/2) aralığındaki çözüm; α ile gösterilir.
- Genel çözüm
- Periyot nedeniyle çözüme 2kπ (tan için kπ) eklenerek elde edilen, k ∈ ℤ için bütün çözümler.
- Çözüm kümesi
- Denklemi sağlayan tüm x değerlerinin (verilen aralıkta) kümesi.
- Periyot
- Çözümlerin tekrarlandığı uzaklık: sin ve cos için 2π, tan için π; f(mx) için bunların 1/m katı.
- Özel değerler
- 0°, 30°, 45°, 60°, 90° açılarının sin, cos, tan değerleri.
- Birim çember çözümü
- y = a (sin), x = a (cos) doğrusunun çemberi kestiği noktaların açıları.
- Kesişim noktaları
- y = f(x) eğrisiyle y = a doğrusunun ortak noktaları; çözümlerin grafik temsili.
Örnek soru
$\sin x=\dfrac12$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
- {π/6, 5π/6}
- {π/6, 7π/6}
- {π/3, 2π/3}
- {π/6, 11π/6}
- {π/3, 5π/3}
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$: birinci çözüm $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$.
2. Sinüs II. bölgede de pozitiftir: $\pi-\alpha=\dfrac{5\pi}{6}$.
Çözüm kümesi: {π/6, 5π/6}. $\frac{7\pi}{6}$ ve $\frac{11\pi}{6}$ sinüsü $-\frac12$ yapar; $\frac{\pi}{3}$ ve $\frac{2\pi}{3}$ ise $\frac{\sqrt3}{2}$ verir.