11. Sınıf Matematik · 3. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlarda Dönüşümler ve Modelleme

Dönme dolabın kabini, gelgitle inip çıkan su, sallanan bir sarkaç, mevsimlere göre uzayıp kısalan gündüz... Hepsi tekrar eden olaylardır ve hepsi sinüs ya da kosinüs eğrisinin gerilmiş, sıkıştırılmış, kaydırılmış biçimiyle modellenir. Bu konuda $g(x)=k\cdot f(m(x-r))+s$ dönüşümünde dört sayının ($k$, $m$, $r$, $s$) grafiğe ve periyoda etkisini keşfedecek, grafikten ya da verilerden formül yazmayı öğrenecek ve gerçek olayları modelleyeceksin.

Kazanımlar

• MAT.11.3.1.c. $g(x)=k\cdot f(m(x-r))+s$ biçimindeki dönüşümlerde $k$, $m$, $r$, $s$ değerlerinin grafik üzerindeki etkisini (germe-yansıma, sıkıştırma, yatay ve dikey öteleme) açıklar.
• MAT.11.3.1.ç. Grafikten ya da verilerden $k$, $m$, $r$, $s$ değerlerini okuyarak cebirsel ifadeyi yazar.
• MAT.11.3.1.d. Dönüşüm yapılmış fonksiyonun periyodunu, en büyük-en küçük değerini ve görüntü kümesini belirler.
• MAT.11.3.1.h. $[0,2\pi]$ aralığındaki sıfır sayısı ile periyot arasındaki ilişkiyi ispatlar.
• MAT.11.3.1.ğ. Dönme dolap, gelgit, basit sarkaç ve günün uzunluğu gibi periyodik olayları trigonometrik fonksiyonla modeller; gerçek bağlamda yorumlar.

Konu anlatımı

1. Referans eğriden yeni eğriye

2. Parametrelerin etkisi

3. Grafikten ya da verilerden formül yazmak

4. Modelleme: periyodik olaylar

5. Çözümlü örnekler

6. Simülasyonla keşif ve görev

7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları

Anahtar terimler

Referans fonksiyon

Dönüşümlerin başlangıç noktası olan sin x, cos x, tan x, cot x fonksiyonları.

Genlik

Dalganın orta çizgisinden en büyük sapması; |k|.

Periyot

Dalganın kendini tekrarladığı en küçük pozitif uzunluk; sin ve cos için 2π/|m|, tan ve cot için π/|m|.

Orta çizgi

Dalganın en büyük ve en küçük değerlerinin tam ortasından geçen yatay doğru; y = s.

Yatay öteleme

Eğrinin x yönünde kaydırılması; f(m(x − r)) de r birim sağa.

Dikey öteleme

Eğrinin y yönünde kaydırılması; +s yukarı.

Yansıma

k < 0 olduğunda eğrinin x eksenine göre simetriğinin alınması.

Modelleme

Gerçek bir periyodik olayı h(t) = s + k·cos(2π(t − r)/T) gibi bir formülle temsil etme.

Örnek soru

$f(x)=-2\cos x+1$ fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

1. [−2, 2]
2. [−1, 1]
3. [−3, 1]
4. [−1, 3]
5. [1, 3]

Doğru cevap: D

Çözüm

1. $|k|=2$ ve $s=1$: en büyük değer $s+|k|=3$, en küçük $s-|k|=-1$.
2. $k<0$ olması yansıtır ama aralığı değiştirmez.
Görüntü kümesi: [−1, 3]. $[-3,1]$ ancak $s=-1$ ile elde edilirdi.

11. Sınıf Matematik: tüm konular