12. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Diziler
Aritmetik Diziler
Merdiven basamakları, sinema salonundaki koltuk sıraları, her yıl aynı tutarda büyüyen bir birikim: hepsinde bir sayı listesi vardır ve her adımda aynı miktar eklenir. Bu konuda böyle örüntüleri aritmetik dizi olarak tanıyacak, ortak fark yardımıyla her terimi ve genel terimi yazacak, ilk n terimin toplamı için kendi varsayımını kurup görsel ve cebirsel olarak ispatlayacaksın. Sonra bu formülün gerçek yaşam problemlerinde neye yaradığını değerlendireceksin. Yalnızca sonlu toplamlar ele alınır.
Kazanımlar
- MAT.12.1.1.a. Sayı örüntülerinin ardışık terimlerini belirler.
- MAT.12.1.1.b. Ardışık terimler arasındaki ortak fark ilişkisini belirler ve her terimi ortak farkı kullanarak ifade eder.
- MAT.12.1.1.ç. Ortak farkı kullanarak aritmetik dizinin genel terimini yazar; iki terimi verilen dizinin ilk terimini ve ortak farkını bulur.
- MAT.12.1.1.d-e. Aritmetik dizinin ilk n terim toplamı için varsayımda bulunur ve örüntüyü genelleyerek Sₙ formülüne ulaşır.
- MAT.12.1.1.f-g. Varsayımını genellemeyle karşılaştırır ve sonlu toplama ilişkin önermeler sunar.
- MAT.12.1.1.ğ-h-ı. Toplam formülünü gerçek yaşam problemlerinde değerlendirir; görsel olarak doğrular, cebirsel olarak ispatlar ve iki ispat yöntemini kullanışlılık açısından karşılaştırır.
Konu anlatımı
1. Merdivenden diziye
2. Dizi, terim ve ortak fark
3. Genel terim: aₙ = a₁ + (n − 1)d
4. İlk n terimin toplamı: varsayımdan ispata
5. Çözümlü örnekler
6. Gerçek yaşamda aritmetik diziler
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Dizi
- Terimlerin bir sıra içinde yazıldığı sayı listesi; $(a_n)$ ile gösterilir.
- Terim
- Dizide sıradaki yeri bilinen her sayı; n. terim $a_n$ ile yazılır.
- Aritmetik dizi
- Ardışık iki terimin farkı sabit olan dizi.
- Ortak fark
- Aritmetik dizide ardışık terimlerin sabit farkı, $d = a_{n+1} - a_n$.
- Genel terim
- Dizinin n. terimini n'ye bağlı olarak veren formül; aritmetik dizide $a_n = a_1 + (n-1)d$.
- Monoton artan / azalan dizi
- Terimleri sürekli büyüyen / küçülen dizi; aritmetik dizide $d > 0$ artan, $d < 0$ azalandır.
- İlk n terimin toplamı
- $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$; aritmetik dizide $S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$.
- Gauss çiftleri
- Baştan ve sondan çiftlenen terimlerin toplamının hep $a_1 + a_n$ olması.
Örnek soru
$7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \dots$ aritmetik dizisinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?
- $a_n = 5n + 7$
- $a_n = 5n + 2$
- $a_n = 7n + 5$
- $a_n = 5n - 2$
- $a_n = 2n + 5$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Ardışık farklar: $12-7 = 17-12 = 22-17 = 5$. Ortak fark $d = 5$, ilk terim $a_1 = 7$.
2. Genel terim: $a_n = a_1 + (n-1)d = 7 + 5(n-1) = 5n + 2$.
3. Kontrol: $n = 1$ için $5 + 2 = 7$, $n = 4$ için $20 + 2 = 22$.
Doğru cevap: B. A şıkkı $(n-1)$ yerine $n$ kullanıldığında çıkar ($a_1 = 12$ olurdu); C şıkkında ilk terim ile ortak fark yer değiştirmiştir.