12. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Nicelikler ve Değişimler: Diziler
Geometrik Diziler
Bileşik faizle büyüyen bir birikim, her saat iki katına çıkan bakteri kültürü, her sekmede yüksekliğinin bir kısmını kaybeden top: bu olaylarda terimler aynı sayı eklenerek değil, aynı sayıyla çarpılarak ilerler. Bu konuda böyle örüntüleri geometrik dizi olarak tanıyacak, ortak oran yardımıyla genel terimi yazacak, ilk n terimin toplamı için varsayım kurup görsel ve cebirsel olarak ispatlayacaksın. Büyüme ve azalma içeren gerçek yaşam problemlerinde formülün ne işe yaradığını da değerlendireceksin. Yalnızca sonlu toplamlar ele alınır.
Kazanımlar
- MAT.12.1.1.b. Ardışık terimler arasındaki ortak oran (çarpan) ilişkisini belirler.
- MAT.12.1.1.c-ç. Her terimi ortak oranı kullanarak ifade eder ve geometrik dizinin genel terimini belirler.
- MAT.12.1.1.d-e. Geometrik dizinin ilk n terim toplamı için varsayımda bulunur ve örüntüyü genelleyerek Sₙ formülüne ulaşır.
- MAT.12.1.1.f-g. Genellemesini varsayımıyla karşılaştırır; $r > 1$, $0 < r < 1$ ve $r < 0$ durumları için önermeler sunar.
- MAT.12.1.1.ğ. Bileşik faiz, nüfus artışı, değer kaybı gibi büyüme-azalma problemlerinde formülün faydasını değerlendirir.
- MAT.12.1.1.h-ı. Toplam formülünü görsel olarak doğrular, $S_n - rS_n$ yöntemiyle cebirsel olarak ispatlar ve yöntemleri kullanışlılık açısından karşılaştırır.
Konu anlatımı
1. Eklemek değil, çarpmak
2. Geometrik dizi ve ortak oran
3. Genel terim: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹
4. İlk n terimin toplamı: varsayımdan ispata
5. Çözümlü örnekler
6. Gerçek yaşamda geometrik diziler
7. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Geometrik dizi
- Ardışık iki terimin oranı sabit olan dizi.
- Ortak oran (çarpan)
- Geometrik dizide ardışık terimlerin sabit oranı, $r = a_{n+1}/a_n$.
- Genel terim
- Geometrik dizide n. terimi veren formül, $a_n = a_1 r^{n-1}$.
- Monoton artan / azalan dizi
- $a_1 > 0$ için $r > 1$ ise artan, $0 < r < 1$ ise azalan dizi.
- Alterne (işaret değiştiren) dizi
- $r < 0$ olduğunda terimlerin işareti sırayla değişen dizi; monoton değildir.
- İlk n terimin toplamı
- $S_n = a_1 + \dots + a_n = \dfrac{a_1 (r^n - 1)}{r - 1}$ ($r \neq 1$).
- Bileşik faiz
- Faizin her dönem sonunda ana paraya eklenip sonraki dönem faizin bu toplam üzerinden hesaplandığı büyüme; ortak oran $1 + \text{faiz oranı}$.
- Basit faiz ile fark
- Basit faizde her yıl sabit tutar eklenir (aritmetik dizi); bileşik faizde sabit oranla çarpılır (geometrik dizi).
Örnek soru
$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ \dots$ geometrik dizisinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?
- $a_n = 3\cdot 2^{n}$
- $a_n = 2\cdot 3^{n-1}$
- $a_n = 3\cdot 2^{n-1}$
- $a_n = 3n$
- $a_n = 6^{n-1}$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Ardışık oranlar: $6/3 = 12/6 = 24/12 = 2$. Ortak oran $r = 2$, ilk terim $a_1 = 3$.
2. Genel terim: $a_n = a_1 r^{n-1} = 3\cdot 2^{n-1}$.
3. Kontrol: $n = 1$ için $3$, $n = 4$ için $3\cdot 8 = 24$.
Doğru cevap: C. A şıkkı üssü $n$ aldığından $a_1 = 6$ verir. B şıkkında ilk terim ile oran yer değiştirmiştir. D şıkkı $3,\ 6,\ 9$ olan aritmetik diziyi verir.