9. Sınıf Matematik · 7. Ünite: Veriden Olasılığa
Teorik Olasılık, Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar
İki zar atınca neden toplam 7 gelmesi 12 gelmesinden çok daha sık görülür? Bunu binlerce kez zar atmadan, yalnızca bütün olası durumları düzenli biçimde yazarak açıklayabiliriz. Bu konuda örnek uzayı sistematik liste, tablo ve ağaç şemasıyla kurmayı, eş olasılıklı deneylerde olasılığı sayarak hesaplamayı, "veya" ve "ve" içeren olayların olasılığını ayrık ve ayrık olmayan olaylar için ayrı ayrı bulmayı ve sonuçlarını deneysel verilerle karşılaştırmayı öğreneceksin.
Kazanımlar
- MAT.9.7.2.a. İki zar, birkaç para ve renkli çark gibi eş olasılıklı deneylerin örnek uzayını sistematik liste, tablo ve ağaç şemasıyla oluşturur ve çıktı sayısını bulur.
- MAT.9.7.2.b. Eş olasılıklı bir deneyde bir olayın olasılığını $P(A)=n(A)/n(S)$ ilişkisiyle hesaplar; olasılığın 0 ile 1 arasında olduğunu ve $P(A')=1-P(A)$ olduğunu açıklar.
- MAT.9.7.2.b. İki olayın ayrık olup olmadığını ortak çıktı bulunup bulunmadığına bakarak belirler.
- MAT.9.7.2.b. Ayrık olaylarda $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ve ayrık olmayan olaylarda $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ilişkisini örnek uzay üzerinde sayarak çıkarır ve uygular.
- MAT.9.7.2.c. Deneysel olasılık ile teorik olasılık arasındaki ilişkiyi, deneme sayısı arttıkça göreli sıklığın teorik değere yaklaşması üzerinden genelleyerek yorumlar.
Konu anlatımı
1. Zar atmadan olasılığı bulabilir miyiz?
2. Örnek uzayı kurmak: liste, tablo, ağaç
3. Teorik olasılık: P(A) = n(A) / n(S)
4. Olayları birleştirmek: veya ve ve
5. Ayrık olaylarda toplama kuralı
6. Ayrık olmayan olaylarda: ortak çıktıyı bir kez say
7. Deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır
8. Çözümlü örnekler
9. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Örnek uzay
- Bir deneyin bütün olası çıktılarının kümesi, S ile gösterilir; n(S) çıktı sayısıdır.
- Sistematik liste
- Çıktıların atlama ve tekrar olmaması için belli bir sıraya göre yazıldığı liste.
- Ağaç şeması
- Aşamalı deneylerde her aşamada çıkabilecek sonuçların dallanarak gösterildiği şema; her yol bir çıktıdır.
- Teorik olasılık
- Eş olasılıklı bir deneyde P(A) = n(A) / n(S) oranıyla hesaplanan olasılık.
- Olayların kesişimi (ve)
- A ve B'nin ikisinin birden gerçekleştiği çıktıların oluşturduğu olay, A ∩ B.
- Olayların birleşimi (veya)
- A'nın ya da B'nin (ya da ikisinin) gerçekleştiği çıktıların oluşturduğu olay, A ∪ B.
- Ayrık olaylar
- Ortak çıktısı olmayan, A ∩ B = ∅ olan iki olay; birlikte gerçekleşemez.
- Ayrık olmayan olaylar
- En az bir ortak çıktısı olan olaylar; birleşimin olasılığında ortak çıktı bir kez çıkarılır.
- Tümleyen olay
- A gerçekleşmediğinde gerçekleşen olay, A′; P(A′) = 1 − P(A).
Örnek soru
İki hileli olmayan zar birlikte atılıyor.
Zarlardan gelen sayıların toplamının 5 olma olasılığı kaçtır?
- 1/12
- 1/9
- 5/36
- 1/6
- 1/11
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Eş olasılıklı çıktılar (1. zar, 2. zar) ikilileridir; $n(S) = 6 \cdot 6 = 36$.
2. Toplamı 5 olan çıktılar: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$, yani $n(A) = 4$.
3. $P(A) = 4/36 = 1/9$.
4. $1/12$ ve $5/36$ sıralı ikilileri eksik ya da fazla sayma hatasından; $1/11$ ise toplamların (2'den 12'ye 11 değer) eş olasılıklı sanılmasından gelir.
Doğru cevap: B.