9. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Sayılar
Üslü ve Köklü Gösterimler
Bir bakteri her saat ikiye bölünüyorsa 10 saat sonra kaç tane olur? Dünya ile Güneş arasındaki uzaklığı metreyle yazmak neden 12 basamaklı bir sayı verir? Üslü ve köklü gösterimler, çok tekrar eden çarpmaları ve çok büyük ya da çok küçük sayıları kısa yazmamızı sağlar. Bu konuda üslerin kurallarını örneklerden tahmin edip genelleyecek, kök ile üs arasındaki bağı kuracak, kareköklü ifadelerde eşlenikle paydayı rasyonel yapacak ve sayıları bilimsel gösterimle, yaklaşık değer ve hata payı ile ifade edeceksin.
Kazanımlar
- MAT.9.1.1.a-b. Üslü ve köklü gösterimlerle işlemler için örneklerden örüntü çıkarır, varsayımda bulunur ve genelleme yapar.
- MAT.9.1.1.ç. Taban pozitif ve üs rasyonel sayı iken $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ ilişkisini kullanarak üslü ifadeyi köklü, köklü ifadeyi üslü yazar.
- MAT.9.1.1.d-e. Aynı tabanlı çarpma, bölme ve kuvvetin kuvveti kurallarını negatif ve sıfır üslerde sayısal örnekle doğrular, bir önermenin yanlış olduğunu karşıt örnekle gösterir.
- MAT.9.1.1.d. Kareköklü ve küp kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkarır, kareköklü ifadelerin paydasını eşlenikle rasyonel yapar.
- MAT.9.1.1.d. Çok büyük ve çok küçük sayıları $a \times 10^n$ ($1 \le a < 10$) biçiminde yazar ve bu gösterimle işlem yapar.
- MAT.9.1.1.f. Bir sayının yaklaşık değerini bulur, mutlak hatayı ve hata payını hesaplayıp yaklaşımların kullanışlılığını karşılaştırır.
Konu anlatımı
1. Neden üs ve kök?
2. Tam sayı üsler: sıfır ve negatif üs
3. Rasyonel üs ve kök ilişkisi
4. Üslü ifadelerde işlem kuralları
5. Köklü ifadeler: kök dışına alma, işlemler, eşlenik
6. Bilimsel gösterim
7. Yaklaşık değer ve hata payı
8. Çözümlü örnekler
9. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Üslü gösterim
- Aynı sayının tekrarlı çarpımını $a^n$ biçiminde yazma; $a$ taban, $n$ üstür.
- Sıfır ve negatif üs
- $a \neq 0$ iken $a^0 = 1$ ve $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
- Rasyonel üs
- $a > 0$ için $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$; payda kök derecesini, pay kuvveti verir.
- Köklü gösterim
- Bir sayının $n$. dereceden kökünü $\sqrt[n]{a}$ ile yazma; üs almanın tersidir.
- Kök dışına alma
- Kök içini asal çarpanlara ayırıp gruplayarak tam kuvvetleri kökün dışına çıkarma.
- Eşlenik
- $\sqrt{a} + b$ nin eşleniği $\sqrt{a} - b$; çarpımları $a - b^2$ olur ve kök yok olur.
- Bilimsel gösterim
- Sayıyı $a \times 10^n$ ($1 \le a < 10$, $n$ tam sayı) biçiminde yazma.
- Yaklaşık değer
- Bir sayıya yakın, daha kısa yazılan değer; yuvarlama ya da kesme ile bulunur.
- Mutlak hata
- Gerçek değer ile yaklaşık değer arasındaki farkın mutlak değeri: $|x - \tilde{x}|$.
- Hata payı
- Bir yaklaşım yönteminde yapılabilecek en büyük mutlak hata.
Örnek soru
$27^{2/3}$ ifadesinin değeri kaçtır?
- $3$
- $6$
- $9$
- $18$
- $81$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Üssün paydası kök derecesidir, payı kuvvettir: $27^{2/3} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2$.
2. $\sqrt[3]{27} = 3$ olduğundan $3^2 = 9$ bulunur.
3. $18$ cevabı üssü $27 \cdot \dfrac{2}{3}$ gibi çarpmaktan, $3$ cevabı ise yalnızca kökü almaktan gelir.
Doğru cevap: C.