9. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Sayılar
Kümeler ve Gerçek Sayı Aralıkları
"3 ün katı olan çift sayılar" ya da "20 den küçük asal sayılar" gibi ifadelerle bir grubu tek bir nesne gibi düşünmek, matematikte çok işimize yarar. Küme dili bu düşünmeyi kısa ve kesin yazmamızı sağlar. Bu konuda elemanları sayı olan kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleyen işlemlerini yapacak, eleman sayılarını yorumlayacak; sayı doğrusunda gösterdiğin gerçek sayı aralıklarını aralık, küme ve sayı doğrusu gösterimleri arasında çevirecek ve aralıklarla küme işlemleri yapacaksın.
Kazanımlar
- MAT.9.1.2.a. Kümeyi liste ve ortak özellik yöntemleriyle gösterir; eleman olma, alt küme ve boş küme sembollerini anlamlarıyla kullanır.
- MAT.9.1.2.b-c. Birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini Venn şemasında ve listede yapar; $s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$ bağıntısıyla problem çözer.
- MAT.9.1.2.a. De Morgan kurallarını örnek kümelerde Venn şemasıyla sınar.
- MAT.9.1.2.a. Gerçek sayı aralıklarını eşitsizlik, sayı doğrusu, aralık ve küme gösterimleri arasında dönüştürür; uç noktaların dahil olup olmadığını belirler.
- MAT.9.1.2.b-c. Aralıklarda birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini sayı doğrusu üzerinde yapar ve sonucu aralık gösterimiyle yazar.
- MAT.9.1.2.a. $|x - c| < r$ gösterimini merkez $c$ ve yarıçap $r$ olan $(c - r, c + r)$ aralığı olarak okur.
Konu anlatımı
1. Sayıları gruplamak: küme dili
2. Alt küme ve boş küme
3. Küme işlemleri ve Venn şeması
4. De Morgan kuralları
5. Gerçek sayı aralıkları
6. Aralıklarla işlemler
7. Mutlak değerli gösterim: yalnızca bir okuma biçimi
8. Çözümlü örnekler
9. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Küme
- Elemanları kesin olarak belli olan, iyi tanımlı nesneler topluluğu; bu konuda elemanları sayı olan kümelerle çalışılır.
- Boş küme
- Hiç eleman içermeyen küme; $\varnothing$ ile gösterilir ve her kümenin alt kümesidir.
- Alt küme
- $A$ nın her elemanı $B$ de de varsa $A \subset B$; $n$ elemanlı kümenin $2^n$ alt kümesi vardır.
- Evrensel küme
- Üzerinde çalışılan bütün elemanları içeren küme; $U$ ile gösterilir (aralıklarda $\mathbb{R}$).
- Birleşim ve kesişim
- $A \cup B$: $A$ da ya da $B$ de olanlar; $A \cap B$: ikisinde de olanlar.
- Fark ve tümleyen
- $A - B$: $A$ da olup $B$ de olmayanlar; $A'$: $U$ da olup $A$ da olmayanlar.
- De Morgan kuralları
- $(A \cup B)' = A' \cap B'$ ve $(A \cap B)' = A' \cup B'$.
- Aralık
- Gerçek sayı doğrusunun iki uç arasındaki parçası; uçlar açık, kapalı ya da sonsuz olabilir.
- Açık ve kapalı uç
- Yuvarlak parantez ucu içermez (boş nokta), köşeli parantez ucu içerir (dolu nokta).
- Mutlak değerli gösterim
- $|x - c| < r$: merkezi $c$, yarıçapı $r$ olan $(c-r,\ c+r)$ aralığı.
Örnek soru
$U = \{1, 2, 3, \dots, 12\}$ evrensel kümesinde $A = \{x : x \text{ çift sayı}\}$ ve $B = \{x : x \text{ sayısı } 3 \text{ ün katı}\}$ kümeleri veriliyor. $s(A \cup B)$ kaçtır?
- $6$
- $8$
- $10$
- $4$
- $2$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ olduğundan $s(A) = 6$.
2. $B = \{3, 6, 9, 12\}$ olduğundan $s(B) = 4$.
3. Ortak elemanlar $6$ ve $12$ dir: $s(A \cap B) = 2$.
4. $s(A \cup B) = 6 + 4 - 2 = 8$.
5. $10$ cevabı ortak elemanları iki kez saymaktan gelir.
Doğru cevap: B.