Diferansiyel Denklemler · 3. Ünite: Yüksek Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Cauchy-Euler Denklemleri
Laplace denkleminin kutupsal koordinatlarda çözümü, küresel simetrik bir ortamda ısı iletimi ya da bir ısı yayıcının yarıçapa bağlı sıcaklığı gibi problemlerde karşımıza $t^2y'' + \alpha ty' + \beta y = 0$ biçiminde, katsayıları değişken ama çok düzenli bir denklem çıkar. Her terimde türevin mertebesi kadar $t$ kuvveti vardır; bu yapı, denklemin $y = t^r$ gibi bir kuvvet fonksiyonuyla çözülmesine ve $x = \ln t$ dönüşümüyle sabit katsayılı denkleme indirgenmesine izin verir. Konunun sonunda indis denklemini kurup üç kök durumunda ($t>0$ ve $t<0$ için) genel çözümü yazabilecek, başlangıç koşullarından sabitleri bulabilecek, $t = 0$ tekilliğinin sonuçlarını açıklayabilecek ve $t \to 0^+$ ile $t \to \infty$ davranışını köklerden okuyabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- $t^2y'' + \alpha ty' + \beta y = 0$ denkleminde $y = t^r$ denemesiyle indis denklemi $r(r-1) + \alpha r + \beta = 0$'ı kurar ve köklerini bulur.
- Kökler ayrık reel, katlı ya da karmaşık olduğunda genel çözümü ($c_1t^{r_1} + c_2t^{r_2}$, $t^r(c_1 + c_2\ln t)$, $t^\lambda[c_1\cos(\mu\ln t) + c_2\sin(\mu\ln t)]$) doğru yazar.
- $x = \ln t$ dönüşümüyle denklemi $Y'' + (\alpha - 1)Y' + \beta Y = 0$ sabit katsayılı biçimine indirger ve çözümleri $t$ değişkenine geri taşır.
- $t < 0$ aralığında $|t|$ kullanarak çözümü yazar ve $t = 0$'ın tekil nokta olmasının varlık–teklik ve başlangıç koşulu açısından sonuçlarını açıklar.
- Homojen olmayan $t^2y'' + \alpha ty' + \beta y = g(t)$ denklemini $x = \ln t$ dönüşümü ya da parametrelerin değişimiyle çözer.
- Kök yapısından $t \to 0^+$ ve $t \to \infty$ davranışını (sıfıra gitme, büyüme, sonsuz salınım) belirler.
Konu anlatımı
Bağlam: Değişken Katsayılı Ama Çözülebilir Bir Denklem
y = t^r Denemesi ve İndis Denklemi
x = ln t Dönüşümü: Sabit Katsayılıya İndirgeme
Üç Durum ve Çözümlü Örnekler
Negatif t, Tekil Nokta ve Başlangıç Koşulu
Homojen Olmayan Denklemler
Davranış: t → 0⁺ ve t → ∞
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Cauchy-Euler denklemi (Euler equation)
- $t^2y'' + \alpha ty' + \beta y = 0$ biçiminde, her terimde türev mertebesi kadar $t$ kuvveti taşıyan lineer homojen denklem; ölçek değişmezdir ve $y = t^r$ ile çözülür.
- İndis denklemi (indicial equation)
- $y = t^r$ denemesinden çıkan cebirsel denklem $r(r-1) + \alpha r + \beta = 0$; kökleri çözümlerdeki kuvvetleri belirler.
- Logaritmik dönüşüm
- $x = \ln t$ (ya da $t < 0$ için $x = \ln|t|$) değişken değişimi; $ty' = Y'$ ve $t^2y'' = Y'' - Y'$ olduğundan denklem sabit katsayılı $Y'' + (\alpha - 1)Y' + \beta Y = 0$ olur.
- Tekil nokta (singular point)
- Standart biçimde $p(t) = \alpha/t$ ve $q(t) = \beta/t^2$ katsayılarının süreksiz olduğu $t = 0$ noktası; varlık–teklik teoremi bu noktayı içeren aralıkta geçerli değildir.
- Düzenli tekil nokta (regular singular point)
- Tekil noktanın $t\,p(t)$ ve $t^2q(t)$ analitik kalacak kadar hafif olması; Cauchy-Euler denklemi bu sınıfın model örneğidir.
- Katlı kök ve ln t
- İndis denkleminin çift kökü $r$ olduğunda ikinci bağımsız çözüm $t^r\ln t$'dir (sabit katsayılıdaki $te^{rt}$'nin karşılığı).
- Karmaşık kök: $\cos(\mu\ln t)$
- $r = \lambda \pm \mu i$ için reel çözümler $t^\lambda\cos(\mu\ln t)$ ve $t^\lambda\sin(\mu\ln t)$; salınım $t$'de değil $\ln t$'de düzgündür.
- Mutlak değer ile çözüm
- $t < 0$ aralığında $t^r$ ve $\ln t$ yerine $\lvert t\rvert^r$ ve $\ln\lvert t\rvert$ kullanılması; iki yarım doğru ayrı sabitlerle çözülür.
- Parametrelerin değişimi (variation of parameters)
- $g(t)\neq 0$ iken özel çözümü $y_p = u_1y_1 + u_2y_2$ biçiminde bulma yöntemi; Cauchy-Euler için sağ taraf $g(t)/t^2$ olarak alınır.
Örnek soru
$t > 0$ için $t^2y'' + ty' - 4y = 0$ denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir?
- $c_1e^{2t} + c_2e^{-2t}$
- $c_1t^{(-1+\sqrt{17})/2} + c_2t^{(-1-\sqrt{17})/2}$
- $t^2(c_1 + c_2\ln t)$
- $c_1\cos(2\ln t) + c_2\sin(2\ln t)$
- $c_1t^2 + c_2t^{-2}$
Doğru cevap: E
Çözüm
1. $y = t^r$ koyunca indis denklemi $r(r-1) + r - 4 = r^2 - 4 = 0$ olur ($\alpha = 1,\ \beta = -4$).
2. Kökler $r = \pm 2$ ayrık reeldir; dolayısıyla $y = c_1t^2 + c_2t^{-2}$.
3. Kontrol: $y = t^2$ için $t^2\cdot 2 + t\cdot 2t - 4t^2 = 0$.
Cevap: E. B seçeneği indis denklemini $r^2 + \alpha r + \beta = r^2 + r - 4$ yazıp $r(r-1)$ terimini unutmaktan gelir. A, sabit katsayılı denklemin çözümüdür ($t$ değişkeni üstelde olmamalı).