Diferansiyel Denklemler · 4. Ünite: Yüksek Mertebeden Denklemlerin Uygulamaları
Mekanik Titreşimler (Serbest ve Sönümlü)
Araba süspansiyonu, bina–deprem etkileşimi, kapı kapatıcı, saat sarkacı: hepsi bir denge konumu çevresinde titreşen sistemlerdir ve en basit modelleri yay–kütle–sönümleyici üçlüsüdür. Bu konuda Newton'un ikinci yasasından $my'' + cy' + ky = 0$ denklemini kurar, sönümsüz durumda $R\cos(\omega_0 t - \delta)$ biçimine, sönümlü durumda aşırı, kritik ve az sönümlü rejimlere ayrılan çözümlere ulaşırsın. Konunun sonunda bir yay–kütle sisteminin başlangıç koşullarından hareketin genliğini, fazını, periyodunu, zarfını ve enerji kaybını hesaplayabilecek, bir sönüm katsayısının hareketi nasıl değiştirdiğini köklerden okuyabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Hooke yasası ve Newton'un ikinci yasasıyla $my'' + cy' + ky = 0$ denklemini kurar; denge konumundan ölçüldüğünde ağırlığın ($mg = kL$) denklemden neden düştüğünü açıklar.
- Sönümsüz harekette $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, periyot ve genlik–faz biçimi $R\cos(\omega_0 t - \delta)$'yı başlangıç koşullarından hesaplar; $\delta$'yı doğru çeyrek düzlemde belirler.
- $c^2 - 4km$ işaretine göre hareketi aşırı sönümlü, kritik sönümlü ya da az sönümlü olarak sınıflar; kritik sönüm katsayısını $c_{kr} = 2\sqrt{km}$ olarak bulur.
- Az sönümlü harekette yarı-frekansı $\mu = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$, yarı-periyodu, zarfı $Re^{-\gamma t}$ ve logaritmik azalmayı hesaplar, ölçülen tepe oranlarından $c$ ve $k$'yi geri çıkarır.
- Aşırı ve kritik sönümlü çözümlerin sıfırı en çok kaç kez kestiğini başlangıç koşullarından belirler ve $c$ arttıkça dönüşün neden hızlanmayıp yavaşladığını açıklar.
- Toplam mekanik enerjinin değişim hızını $dE/dt = -cy'^2$ ile yorumlar ve enerji grafiğini konum grafiğiyle ilişkilendirir.
Konu anlatımı
Model: Yay, Kütle ve Sönümleyici
Sönümsüz Serbest Titreşim
Sönümlü Titreşim: Üç Rejim
Az Sönümlü Hareketin Ayrıntıları
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Tasarım Yorumu
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyon Görevleri
Anahtar terimler
- Doğal frekans (natural frequency)
- Sönümsüz yay–kütle sisteminin açısal frekansı $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ (rad/s); periyodu $T = 2\pi/\omega_0$.
- Genlik ve faz (amplitude, phase)
- $y = R\cos(\omega_0 t - \delta)$ biçiminde $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ ve $\delta = \operatorname{atan2}(B, A)$.
- Sönüm oranı (damping ratio)
- $\zeta = c/(2\sqrt{km}) = \gamma/\omega_0$; $\zeta < 1$, $= 1$, $> 1$ sırasıyla az, kritik, aşırı sönümü gösterir.
- Kritik sönüm (critical damping)
- Salınımın tam eşiği: $c^2 = 4km$, kök katlı ve negatif ($r = -\gamma$); salınımsız dönüşlerin en hızlısı.
- Yarı-frekans (quasi-frequency)
- Az sönümlü harekette $\mu = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} < \omega_0$; yarı-periyot $\pi/\mu$, kuasi-periyot $T_d = 2\pi/\mu$.
- Zarf (envelope)
- Az sönümlü salınımı sınırlayan $\pm Re^{-\gamma t}$ eğrileri; $\gamma = c/(2m)$ sönüm hızını belirler.
- Logaritmik azalma (logarithmic decrement)
- Art arda iki tepe oranının doğal logaritması: $\Lambda = \gamma T_d = 2\pi\zeta/\sqrt{1 - \zeta^2}$; $c$'yi deneyle ölçmek için kullanılır.
- Statik uzama (static elongation)
- Kütle asıldığında yayın denge konumunda kazandığı uzama $L = mg/k$; titreşim denklemine girmez.
- Mekanik enerji kaybı
- $E = \tfrac12 my'^2 + \tfrac12 ky^2$ için $dE/dt = -cy'^2 \le 0$; sönüm enerjiyi ısıya çevirir.
Örnek soru
Tavandan sarkan bir yaya $4\ \text{kg}$'lık cisim asılıyor; yay $0{,}49\ \text{m}$ uzayıp dengeye geliyor ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$). Yay sabiti $k$ kaç $\text{N/m}$'dir?
- $8{,}2$
- $80$
- $19{,}2$
- $163$
- $0{,}83$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Denge konumunda yay kuvveti ağırlığı dengeler: $kL = mg$.
2. $k = \dfrac{mg}{L} = \dfrac{4 \cdot 9{,}8}{0{,}49} = \dfrac{39{,}2}{0{,}49} = 80\ \text{N/m}$. Doğru cevap B.
Çeldiriciler: $8{,}2$ ($m/L$; $g$ çarpanı unutulmuş), $19{,}2$ ($mgL$; bölme yerine çarpma), $163$ ($mg/L^2$; uzamanın karesi), $0{,}83$ ($m/(gL)$; $g$ paya değil paydaya alınmış).