Diferansiyel Denklemler · 1. Ünite: Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler
Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler
Radyoaktif bozunma, soğuma, nüfus artışı ve sıvı boşalması gibi pek çok olay $\dfrac{dy}{dx} = h(x)\,g(y)$ biçiminde bir denklemle modellenir. Bu denklemin sağ tarafı "yalnızca $x$'e bağlı" ile "yalnızca $y$'ye bağlı" iki çarpana ayrıldığı için iki tarafı ayrı ayrı integre ederek çözebiliriz. Bu konuyu bitirdiğinde ayırma tekniğini doğru gerekçelendirebilir, örtük ve açık çözümü yazabilir, bölme sırasında kaybolan sabit çözümleri yakalayabilir ve bir çözümün tanım aralığını belirleyebilirsin.
Öğrenme hedefleri
- Bir birinci mertebeden denklemin $y' = h(x)\,g(y)$ biçiminde yazılıp yazılamadığına (değişkenlerine ayrılabilir olup olmadığına) karar verir.
- $g(y)\,dy = h(x)\,dx$ biçimine getirip iki tarafı integre ederek genel çözümü örtük biçimde yazar; mümkünse $y$ için açıkça çözer.
- Başlangıç değer problemini çözerek keyfi sabiti belirler ve $\ln|y|$ integralindeki mutlak değeri doğru yönetir.
- $g(y_0) = 0$ koşulundan sabit (denge) çözümleri bulur ve bunların genel çözüm ailesinde bulunup bulunmadığını belirler.
- Örtük bir çözümün geçerli olduğu en geniş açık aralığı (tanım aralığını) başlangıç koşuluna göre belirler.
- Eğim alanı ve çözüm eğrisi grafiğini kullanarak analitik sonucu sayısal çözümle karşılaştırır.
Konu anlatımı
Bağlam: Değişim Hızı Kendi Büyüklüğüne Bağlı Olunca
Tanım: Ayrılabilir Denklem
Ayırma Tekniği ve Türetme
Çözümlü Örnek 1: Açık Çözüm ve ln|y|
Çözümlü Örnek 2: Örtük Çözüm, BDP ve Tanım Aralığı
Çözümlü Örnek 3: Sabit Çözümler ve Kaybolan Çözüm
Çözümlü Örnek 4: Hiçbir C'nin Vermediği Çözüm ve Çember
Sınır Durumları: Tekillik, Teklik ve Tanım Aralığı
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyona Bağlantı
Anahtar terimler
- Değişkenlerine ayrılabilir denklem (separable equation)
- $y' = h(x)\,g(y)$ biçiminde, sağ tarafı yalnızca $x$'e ve yalnızca $y$'ye bağlı iki çarpanın çarpımı olan birinci mertebeden denklem.
- Örtük çözüm (implicit solution)
- $\Phi(x,y) = C$ biçiminde, $y$ için açıkça çözülmemiş çözüm bağıntısı; uygun aralıkta denklemi sağlar.
- Açık çözüm (explicit solution)
- $y = \varphi(x)$ biçiminde yazılmış çözüm.
- Sabit çözüm / denge çözümü (equilibrium solution)
- $g(c) = 0$ olduğunda $y(x) \equiv c$; türevi sıfır olan sabit fonksiyon çözümü.
- Kaybolan çözüm (lost solution)
- Ayırma sırasında $g(y)$'ye bölündüğü için elde edilen genel formülde yer almayan sabit çözüm.
- Başlangıç değer problemi (initial value problem)
- Bir diferansiyel denklem ile $y(x_0) = y_0$ koşulunun birlikte verildiği problem; keyfi sabiti belirler.
- Tanım aralığı (interval of validity)
- Çözümün başlangıç noktasını içeren ve türevlenebilir olarak denklemi sağladığı en geniş açık aralık.
- Özerk denklem (autonomous equation)
- Sağ tarafı açıkça $x$'e bağlı olmayan $y' = g(y)$ denklemi; ayrılabilir bir özel durumdur.
- Eğim alanı (slope field)
- Her $(x,y)$ noktasında çözüm eğrisinin eğimi $f(x,y)$ olan kısa doğru parçalarından oluşan grafik.
Örnek soru
Aşağıdaki birinci mertebeden denklemlerden hangisi değişkenlerine ayrılabilirdir?
- $y' = x + y$
- $y' = \sin(x + y)$
- $y' = e^{x+y}$
- $y' = xy + x + y$
- $y' = \ln(x + y)$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Ayrılabilirlik, sağ tarafın $h(x)\,g(y)$ çarpımına yazılabilmesidir.
2. $e^{x+y} = e^{x}\cdot e^{y}$ olduğundan $y' = e^{x}e^{y}$ ve $e^{-y}\,dy = e^{x}\,dx$ yazılır: C şıkkı ayrılabilir.
3. $x + y$, $\sin(x+y)$ ve $\ln(x+y)$ çarpana ayrılamaz; $x+y$ bir toplamdır.
4. En güçlü çeldirici D'dir: $xy + x + y = (x+1)(y+1) - 1$ olur; "$-1$" terimi çarpımı bozar, dolayısıyla ayrılamaz.