Diferansiyel Denklemler · 1. Ünite: Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler
Lineer Denklemler ve İntegral Çarpanı
Tuz çözeltisine akan bir karışım, bir devredeki akım, soğuyan bir cisim ya da ilaç dozu gibi pek çok olayda bilinmeyen fonksiyon ve türevi doğrusal biçimde bir araya gelir: $y' + p(x)\,y = q(x)$. Bu denklem ayrılabilir değildir; yine de sol tarafı bir çarpım türevine dönüştüren özel bir çarpanla (integral çarpanı) her zaman kapalı biçimde çözülebilir. Bu konuyu bitirdiğinde denklemi standart biçime getirip integral çarpanını bulabilir, genel çözümü türetebilir, geçici ve kalıcı kısmı ayırt edebilir, başlangıç değer problemini ve süreksiz $q(x)$'li problemi çözebilir, çözümün tanım aralığını belirleyebilirsin.
Öğrenme hedefleri
- Birinci mertebeden bir denklemi $y' + p(x)\,y = q(x)$ standart biçimine getirir (başkatsayıya böler) ve lineer olup olmadığına karar verir.
- İntegral çarpanını $\mu(x) = e^{\int p\,dx}$ olarak hesaplar ve $(\mu y)' = \mu q$ eşitliğinin neden doğru olduğunu türetir.
- Genel çözümü $y = \dfrac{1}{\mu}\left(\int \mu q\,dx + C\right)$ biçiminde yazar; $\int p$ içindeki sabitin ve mutlak değerin sonucu değiştirmediğini, $\int \mu q$ sonundaki $C$'nin ise zorunlu olduğunu gerekçelendirir.
- Başlangıç değer problemini çözerek keyfi sabiti belirler; çözümü geçici (transient) ve kalıcı (steady-state) kısma ayırıp zaman sabitini yorumlar.
- Süreksiz $q(x)$ için çözümü parçalı olarak kurar ve kesinti noktasında $y$'nin sürekliliğini kullanarak parçaları birleştirir.
- Bağımsız değişkeni değiştirerek ($dx/dy$) ters biçimdeki lineer denklemleri çözer ve çözümün tanım aralığını $p$ ile $q$'nun süreklilik aralığından belirler.
Konu anlatımı
Bağlam: Hem Kendisine Hem Dışarıya Bağlı Değişim
Tanım: Birinci Mertebeden Lineer Denklem ve Standart Biçim
Türetme: İntegral Çarpanı ve Genel Çözüm
Çözümlü Örnek 1: Sabit Katsayılı Denklem, Geçici ve Kalıcı Kısım
Çözümlü Örnek 2: Başkatsayıya Bölme ve Tanım Aralığı
Çözümlü Örnek 3: Zorlamalı Denklem (Sinüs)
Çözümlü Örnek 4: Süreksiz Zorlama ve Ters Biçim
Sınır Durumları: İntegral Çarpanı, Kesinti ve Tekil Noktalar
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyona Bağlantı
Anahtar terimler
- Lineer denklem (linear equation)
- $y' + p(x)y = q(x)$ biçiminde, $y$ ve $y'$'nün yalnızca birinci kuvvette ve $x$'e bağlı katsayılarla göründüğü birinci mertebeden denklem.
- Standart biçim (standard form)
- $y'$'nün katsayısının $1$ olduğu yazım; integral çarpanı yalnızca bu biçimdeki $p(x)$'ten hesaplanır.
- İntegral çarpanı (integrating factor)
- $\mu(x) = e^{\int p\,dx}$; denklemin iki yanıyla çarpılınca sol tarafı $(\mu y)'$ yapan, $\mu' = p\mu$ sağlayan fonksiyon.
- Genel çözüm (general solution)
- $y = \dfrac{1}{\mu}\left(\int \mu q\,dx + C\right)$; keyfi bir sabit içeren ve tüm çözümleri kapsayan aile.
- Homojen / homojen olmayan denklem
- $q \equiv 0$ ise homojen, $q \not\equiv 0$ ise homojen olmayan lineer denklem.
- Geçici kısım (transient)
- Genel çözümdeki $C/\mu = Ce^{-\int p}$ terimi; $a > 0$ için zamanla sönen, başlangıç koşuluna bağlı kısım.
- Kalıcı kısım (steady-state)
- Başlangıç koşulundan bağımsız, $x$ büyürken çözümün yaklaştığı çözüm; $y' + ay = b$ için $b/a$.
- Zaman sabiti (time constant)
- $y' + ay = b$ için $1/a$; geçici kısmın $1/e$ katına indiği süre.
- Başlangıç değer problemi (initial value problem)
- Denklemle birlikte $y(x_0) = y_0$ verilen problem; $C$'yi belirler.
- Tanım aralığı (interval of validity)
- $p$ ve $q$'nun sürekli olduğu, başlangıç noktasını içeren en geniş açık aralık.
Örnek soru
$y' + 2x\,y = x$ denklemi için bir integral çarpanı aşağıdakilerden hangisidir?
- $e^{2x}$
- $e^{x^2}$
- $e^{-x^2}$
- $x^2$
- $e^{2x^2}$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Denklem zaten standart biçimde: $p(x) = 2x$, $q(x) = x$.
2. $\mu = e^{\int p\,dx} = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^2}$ (sabit eklemek gerekmez): B şıkkı.
3. Kontrol: $\mu' = 2x\,e^{x^2} = p\,\mu$ sağlanır; dolayısıyla $(e^{x^2}y)' = e^{x^2}(y' + 2xy)$ olur.
4. A şıkkı $p$'yi sabit sayan, C şıkkı işareti tersine alan, E şıkkı $\int 2x\,dx$'i $2x^2$ hesaplayan hatadır; D şıkkı ise üstel almayı unutmaktır.