Diferansiyel Denklemler · 6. Ünite: Diferansiyel Denklem Sistemleri
Faz Düzlemi (Phase Plane) ve Kritik Noktalar
Çoğu sistemin çözümünü kapalı biçimde yazamayız; yine de çözümlerin zamanla nereye gittiğini, denge civarında neyin olduğunu bilmek isteriz. Faz düzlemi, zamanı gizleyip yörüngelerin geometrisini gösteren bu bakışı sağlar. Bu konuda lineer sistemlerin davranışını izleme ve determinant düzleminde sınıflayacak, lineer olmayan sistemlerde kritik noktaları bulup Jacobi matrisiyle lineerleştirecek, lineerleştirmenin nerede güvenilir nerede yanıltıcı olduğunu ayırt edeceksin.
Öğrenme hedefleri
- Otonom bir $\mathbf{x}' = \mathbf{F}(\mathbf{x})$ sisteminin kritik (denge) noktalarını $\mathbf{F}(\mathbf{x}^*) = \mathbf{0}$ denkleminden bulur.
- Lineer $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ sisteminde $\operatorname{tr}A$, $\det A$ ve $\operatorname{tr}^2 - 4\det A$ ile orijinin tipini (düğüm, eyer, spiral, merkez, dejenere düğüm) ve kararlılığını belirler.
- Kararlı, asimptotik kararlı ve kararsız denge kavramlarını tanımlar ve örneklerle ayırt eder.
- Lineer olmayan sistemde bir kritik noktada Jacobi matrisini hesaplar, lineerleştirilmiş sistemi sınıflar ve sonucun gerçek sistem için ne zaman geçerli olduğunu söyler.
- Sarkaç, av–avcı (Lotka–Volterra) ve rekabet modellerinde kritik noktaları, tiplerini ve korunan nicelikten gelen kapalı yörüngeleri yorumlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Zamanı Gizleyip Geometriye Bakmak
Kritik Noktalar ve Kararlılık Tanımları
Lineer Sistem: tr–det Düzleminde Sınıflama
Lineer Olmayan Sistem: Jacobi Matrisi ve Lineerleştirme
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Lineerleştirmenin Yanıltması
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyonda Dene
Anahtar terimler
- Otonom sistem (autonomous system)
- Sağ tarafı $t$'ye açıkça bağlı olmayan $\mathbf{x}' = \mathbf{F}(\mathbf{x})$ sistemi; yörüngeleri faz düzleminde zamansız bir resim oluşturur.
- Faz düzlemi ve yörünge (phase plane, trajectory)
- Durum değişkenlerinin düzlemi; bir çözümün zamanla çizdiği eğri yörüngedir. Çözümün tekliği yüzünden farklı yörüngeler kesişmez.
- Kritik nokta (critical point)
- $\mathbf{F}(\mathbf{x}^*) = \mathbf{0}$ olan nokta; orada hız sıfırdır ve sabit çözüm verir.
- Kararlılık (stability)
- Kritik noktaya yakın başlayan çözümlerin yakın kalması. Asimptotik kararlılık ek olarak noktaya yaklaşmayı, kararsızlık ise uzaklaşan çözümlerin varlığını anlatır.
- Düğüm ve eyer (node, saddle)
- Aynı işaretli reel özdeğerlerde yörüngeler noktaya girer ya da çıkar (düğüm); zıt işaretlilerde yalnız bir doğru boyunca yaklaşım vardır ve nokta kararsızdır (eyer).
- Spiral ve merkez (spiral, center)
- Karmaşık özdeğerlerde yörüngeler dönerek yaklaşır ya da uzaklaşır (spiral). Saf sanal özdeğerde kapalı eğrilerdir (merkez), kararlı ama asimptotik değil.
- Dejenere düğüm (degenerate node)
- Çift özdeğer ve tek bağımsız özvektör olduğunda oluşan, yörüngelerin özvektör doğrusuna teğet kıvrıldığı düğüm; $A = \lambda I$ ise öz-düğümdür.
- Jacobi matrisi (Jacobian)
- Kısmi türevlerden oluşan $J = \partial\mathbf{F}/\partial\mathbf{x}$; kritik noktada lineerleştirilmiş sistemin matrisidir.
- Hiperbolik nokta (hyperbolic point)
- $J$'nin hiçbir özdeğerinin gerçek kısmı sıfır olmayan kritik nokta; Hartman–Grobman'a göre yerel portre lineerleştirmeyle topolojik olarak denktir.
Örnek soru
$x' = y(1 - x)$, $y' = x - y$ sisteminin kritik noktaları hangileridir?
- Yalnızca $(0, 0)$
- $(0, 0)$ ve $(1, 1)$
- $(0, 0)$, $(1, 0)$ ve $(0, 1)$
- $(1, 1)$ ve $(1, 0)$
- $(0, 0)$ ve $(0, 1)$
Doğru cevap: B
Çözüm
Kritik nokta için $x' = 0$ ve $y' = 0$ birlikte sağlanmalıdır.
1. $y' = 0$ ise $x = y$.
2. $x' = y(1 - x) = 0$ ise $y = 0$ ya da $x = 1$.
3. $y = 0$ dalında $x = y = 0$; $x = 1$ dalında $y = x = 1$.
Kritik noktalar $(0, 0)$ ve $(1, 1)$. Yalnızca orijini veren cevap $x = 1$ dalını atlar; $(1, 0)$ ve $(0, 1)$ ise iki denklemden yalnızca birini sağlar.