Diferansiyel Denklemler · 6. Ünite: Diferansiyel Denklem Sistemleri
Sistemler İçin Parametrelerin Değişimi
Bir sisteme dışarıdan sürekli bir etki uygulandığında (iki bağlı tankı besleyen akış, bağlı devrelere bağlanan kaynak, titreşen bir yapıya gelen yük) homojen olmayan sistem $\mathbf{x}' = P(t)\mathbf{x} + \mathbf{g}(t)$ ortaya çıkar. Homojen kısmın temel matrisi $\Psi(t)$ biliniyorsa, parametrelerin değişimi (variation of parameters) yöntemi sabit vektör $\mathbf{c}$'yi $\mathbf{u}(t)$ fonksiyonuna çevirerek özel çözümü tek bir integral formülüyle verir. Konunun sonunda $\mathbf{x}_p = \Psi\int \Psi^{-1}\mathbf{g}\,dt$ formülünü türetebilecek, başlangıç koşulunu integralin alt sınırına yerleştirebilecek, sabit katsayılı durumda Duhamel formülünü ($e^{A(t-s)}$) kullanabilecek ve sonucu belirsiz katsayılar yöntemi ile rezonans kavramıyla karşılaştırabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- $\mathbf{x} = \Psi(t)\mathbf{u}(t)$ denemesinden $\Psi\mathbf{u}' = \mathbf{g}$ koşulunu türetir ve $\mathbf{x}_p = \Psi\int \Psi^{-1}\mathbf{g}\,dt$ ile genel çözümü $\mathbf{x} = \Psi\mathbf{c} + \mathbf{x}_p$ biçiminde yazar.
- İkiye iki bir sistemde $\Psi^{-1}$'i hesaplayıp $\Psi^{-1}\mathbf{g}$ integralini alarak $\mathbf{x}_p$'yi bulur ve sonucu sisteme koyarak doğrular.
- Başlangıç değer problemini $\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}^0$ için sabit alt sınırlı integralle çözer: $\mathbf{x} = \Psi(t)\Psi^{-1}(t_0)\mathbf{x}^0 + \Psi(t)\int_{t_0}^{t}\Psi^{-1}(s)\mathbf{g}(s)\,ds$.
- Sabit katsayılı $\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{g}$ için $\Psi = e^{At}$ alarak Duhamel formülünü $\mathbf{x} = e^{At}\mathbf{x}^0 + \int_0^t e^{A(t-s)}\mathbf{g}(s)\,ds$ biçiminde uygular ve normalize edilmemiş bir $\Psi$ ile $e^{At}$ arasındaki farkı açıklar.
- Sabit zorlayıcıda $\mathbf{x}_s = -A^{-1}\mathbf{g}$ dengesini bulur; $e^{-t}$ gibi üstel ve $\sin\omega t$ gibi salınımlı zorlayıcılarda belirsiz katsayılar tahminini (rezonansta $t$ çarpanıyla) kurar ve parametrelerin değişimiyle karşılaştırır.
- $\mathbf{g}$'nin frekansı $\omega$ ile $A$'nın özdeğerlerinin sanal kısmı $\beta$ arasındaki ilişkiye ve sönüm ($\alpha$) varlığına bakarak $\mathbf{x}_p$'nin sınırlı mı yoksa $t$ ile büyüyen mi olduğunu söyler.
Konu anlatımı
Bağlam: Zorlanan Sistemler ve Skaler Yöntemin Hatırlatılması
Türetme: x = Ψu Denemesi
Başlangıç Koşulu ve İntegralin Alt Sınırı
Sabit Katsayılı Durum: Duhamel Formülü
Çözümlü Örnekler
Belirsiz Katsayılarla Karşılaştırma ve Rezonans
Sınır Durumları
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyonda Deneyeceklerin
Anahtar terimler
- Parametrelerin değişimi (variation of parameters)
- Homojen çözümdeki sabit vektörü $\mathbf{u}(t)$ fonksiyonuna çevirerek $\mathbf{x}_p = \Psi\int\Psi^{-1}\mathbf{g}\,dt$ özel çözümünü veren yöntem.
- Temel matris (fundamental matrix)
- Sütunları $\mathbf{x}' = P\mathbf{x}$'in lineer bağımsız çözümleri olan $\Psi(t)$; $\Psi' = P\Psi$ ve $\det\Psi \neq 0$.
- Özel çözüm (particular solution)
- Homojen olmayan sistemi sağlayan herhangi bir $\mathbf{x}_p$; farklı integral alt sınırları farklı özel çözümler verir.
- Duhamel formülü (Duhamel's formula)
- $\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}^0 + \int_0^t e^{A(t-s)}\mathbf{g}(s)\,ds$; sabit katsayılı sistemin başlangıç değer probleminin çözümü.
- Denge (equilibrium)
- Sabit $\mathbf{g}$ için $A\mathbf{x} + \mathbf{g} = 0$ çözümü $\mathbf{x}_s = -A^{-1}\mathbf{g}$; $\det A \neq 0$ gerektirir.
- Normalize temel matris
- $\Psi(t_0) = I$ olan temel matris; sabit katsayılıda $e^{A(t-t_0)}$. Özvektörlerle kurulan $\Psi$ genelde normalize değildir.
- Belirsiz katsayılar (undetermined coefficients)
- Zorlayıcının biçimine göre vektör katsayılı bir deneme çözümü ($\mathbf{a}e^{rt}$, $\mathbf{a}\cos\omega t + \mathbf{b}\sin\omega t$ vb.) kurup katsayıları bulma yöntemi.
- Rezonans (resonance)
- Zorlayıcının frekansının $A$'nın özdeğerinin sanal kısmıyla çakışması; $\alpha = 0$ iken $\mathbf{x}_p$ genliği $t$ ile doğrusal büyür.
- Kalıcı rejim (steady state)
- Kararlı $A$ için homojen kısım sönünce geriye kalan $\mathbf{x}_p$ (ya da $\mathbf{x}_s$) davranışı.
Örnek soru
$\mathbf{x}' = P(t)\mathbf{x} + \mathbf{g}(t)$ sisteminin homojen kısmının temel matrisi $\Psi(t)$'dir ($\Psi' = P\Psi$). $\mathbf{x} = \Psi(t)\mathbf{u}(t)$ denemesi sisteme konup sadeleştirildikten sonra $\mathbf{u}'$ için aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
- $\mathbf{u}' = \Psi\,\mathbf{g}$
- $\mathbf{u}' = \Psi^{-1}\mathbf{g}$
- $\mathbf{u}' = \mathbf{g}$
- $\mathbf{u}' = (\Psi')^{-1}\mathbf{g}$
- $\mathbf{u}' = \mathbf{g}\,\Psi^{-1}$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Çarpım kuralı: $\mathbf{x}' = \Psi'\mathbf{u} + \Psi\mathbf{u}'$.
2. Sistemde yerine koyunca $\Psi'\mathbf{u} + \Psi\mathbf{u}' = P\Psi\mathbf{u} + \mathbf{g}$; $\Psi' = P\Psi$ olduğundan $\Psi'\mathbf{u}$ ile $P\Psi\mathbf{u}$ sadeleşir ve $\Psi\mathbf{u}' = \mathbf{g}$ kalır.
3. Soldan $\Psi^{-1}$ ile çarpınca $\mathbf{u}' = \Psi^{-1}\mathbf{g}$.
Cevap: B. A seçeneği $\Psi$ ile çarpma hatasıdır ($\Psi\mathbf{u}' = \mathbf{g}$'yi tersine çevirmeyi unutmak). C seçeneği $\Psi$'yi tamamen ihmal eder. D'de $\Psi'$ yanlışlıkla $\mathbf{u}'$ ile birlikte kalmış gibi düşünülür; oysa $\Psi'\mathbf{u}$ terimi sadeleşmiştir. E'de çarpma sırası bozulmuştur ($\mathbf{g}$ bir sütun vektörüdür, sağdan $\Psi^{-1}$ ile çarpılamaz).