Diferansiyel Denklemler · 8. Ünite: Kısmi Diferansiyel Denklemler ve Fourier Serileri
Laplace Denklemi
Bir plakanın kenarları sabit sıcaklıkta tutulursa ve beklenirse sıcaklık dağılımı artık zamanla değişmez: kararlı hale ulaşılır. Aynı denklem, yüksüz bölgedeki elektrostatik potansiyeli ve ideal akışkanın potansiyel akışını da yönetir. Bu denklem, Laplace denklemi $\nabla^2 u = 0$, zamanın hiç bulunmadığı bir problemdir: çözüm bölgenin yalnızca sınır verisiyle belirlenir. Konunun sonunda dikdörtgende değişkenlerine ayırma ile seri çözümü kuracak, birden çok kenar için süperpozisyon uygulayacak, ortalama değer özelliği ile maksimum ilkesini yorumlayacak ve çözümün iç bölgede neden sınır verisinden daha pürüzsüz olduğunu açıklayacaksın.
Öğrenme hedefleri
- Kararlı hal ısı iletimi, elektrostatik potansiyel ve potansiyel akış problemlerinin hepsinin $\nabla^2 u = 0$ denklemine indiğini gösterir ve verilen bir fonksiyonun harmonik olup olmadığını sınar.
- Dikdörtgen plakada $u(x,y) = X(x)Y(y)$ ayırması ile $X'' + \lambda X = 0$, $Y'' - \lambda Y = 0$ çiftini kurar ve homojen sınır koşullarından $\lambda_n = (n\pi/a)^2$ özdeğerlerini bulur.
- Üst kenarda $f(x)$ verilen Dirichlet problemi için $u = \sum c_n \sin(n\pi x/a)\,\sinh(n\pi y/a)/\sinh(n\pi b/a)$ çözümünü yazar ve $c_n$ katsayılarını Fourier sinüs formülüyle hesaplar.
- Birden çok kenarda sıcaklık verildiğinde problemi her kenar için ayrı bir probleme bölüp süperpozisyonla çözer; simetri ile merkez değerini hesaplar.
- Ortalama değer özelliğini ve maksimum ilkesini ifade eder; bunlardan çıkan sonuçları (iç noktada ekstremum olmaması, tekliği) bir problemde kullanır.
- Yüksek modların $y$ yönünde $e^{-n\pi d/a}$ hızıyla sönmesinden çözümün iç bölgede sınır verisinden daha pürüzsüz olduğunu açıklar; Neumann, karışık ve disk problemlerini kısaca tanımlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Zamanın Olmadığı Denklem
Dikdörtgende Değişkenlerine Ayırma
Çözümlü Örnekler
Ortalama Değer Özelliği ve Maksimum İlkesi
Çok Kenarlı Problemler, Pürüzsüzlük ve Tekillik
Başka Sınır Koşulları ve Disk
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Laplace denklemi (Laplace's equation)
- $\nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0$; kararlı hal ısı iletimi, elektrostatik potansiyel ve potansiyel akışın denklemi.
- Harmonik fonksiyon (harmonic function)
- Laplace denklemini sağlayan, ikinci türevleri sürekli fonksiyon; örneğin $x^2 - y^2$.
- Dirichlet problemi (Dirichlet problem)
- Sınırda $u$'nun değeri verilerek Laplace denkleminin çözülmesi; çözüm tektir.
- Ortalama değer özelliği (mean value property)
- Harmonik bir fonksiyonun bir noktadaki değeri, o noktayı merkez alan her çember üzerindeki ortalamasına eşittir.
- Maksimum ilkesi (maximum principle)
- Harmonik fonksiyonun maksimum ve minimumu sınırda alınır; iç noktada yerel ekstremum olmaz.
- Süperpozisyon (superposition)
- Dört kenarlı problemi, her biri tek kenarda sıfırdan farklı veri taşıyan alt problemlerin toplamı olarak çözme.
- Hiperbolik sinüs oranı
- $\sinh(n\pi y/a)/\sinh(n\pi b/a)$: $n$. modun $y$ yönündeki profili; $y = b$'de $1$, $y = 0$'da $0$ olur ve büyük $n$ için yaklaşık $e^{-n\pi(b-y)/a}$ gibi söner.
- Poisson çekirdeği (Poisson kernel)
- Disk için Dirichlet probleminin çözümünü sınır verisinin integrali olarak veren çekirdek; merkezde $1$ olur.
- Neumann problemi (Neumann problem)
- Sınırda normal türevin ($\partial u/\partial n$) verildiği problem; çözüm bir sabite kadar belirlidir ve toplam akının sıfır olması gerekir.
Örnek soru
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tüm düzlemde Laplace denklemini $u_{xx} + u_{yy} = 0$ sağlar (harmoniktir)?
- $x^2 + y^2$
- $x^2 y$
- $e^{x} + e^{y}$
- $x^3 - 3xy^2$
- $\sin x\,\sin y$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. $u = x^3 - 3xy^2$ için $u_{xx} = 6x$ ve $u_{yy} = -6x$; toplam $0$.
2. Diğerleri: $x^2 + y^2$ için $2 + 2 = 4$; $x^2y$ için $2y + 0 = 2y$; $e^x + e^y$ için $e^x + e^y > 0$; $\sin x\sin y$ için $-\sin x\sin y - \sin x\sin y = -2\sin x\sin y$.
Cevap: D. En güçlü çeldirici A'dır: $x^2 - y^2$ harmoniktir, ama işareti $+$ yapmak ikinci türevleri toplar. $x^2 + y^2$ her yönde çukurdur; böyle bir fonksiyon maksimum ilkesine de aykırıdır.