Diferansiyel Denklemler · 8. Ünite: Kısmi Diferansiyel Denklemler ve Fourier Serileri
Dalga Denklemi
Gitar teline vurduğunuzda ses duyarsınız, çünkü tel yalnızca "aşağı yukarı gitmez": üzerinde dalgalar koşar, uçlardan yansır ve üst üste binerek belirli frekanslarda duran biçimler oluşturur. Bu davranışın matematiği $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ dalga denklemidir. Konunun sonunda gergin bir telin denklemini küçük açı yaklaşımıyla türetebilecek, sabit uçlu tel için ayırma yöntemiyle Fourier çözümünü kurabilecek, aynı çözümü d'Alembert formülüyle ileri ve geri giden dalgalar olarak yorumlayabilecek ve telin nereden çekildiğinin hangi harmoniklerin duyulduğunu nasıl belirlediğini hesaplayabileceksiniz.
Öğrenme hedefleri
- Gergin bir telin küçük genlikli enine titreşimi için $T\,u_{xx} = \mu\,u_{tt}$ denklemini türetir ve dalga hızını $c = \sqrt{T/\mu}$ olarak bulur.
- Sabit uçlu ($u(0,t) = u(L,t) = 0$) tel için ayırma yöntemiyle $u = \sum (a_n\cos\omega_n t + b_n\sin\omega_n t)\sin(n\pi x/L)$ çözümünü kurar ve $a_n$, $b_n$ katsayılarını başlangıç yer değiştirme ve hızdan hesaplar.
- Temel frekansı $f_1 = c/2L$, harmonikleri $f_n = nf_1$ ve $n$. kipin düğüm noktalarını belirler; duran dalga ile ilerleyen dalgayı ayırt eder.
- d'Alembert formülü $u = \tfrac12[f(x-ct) + f(x+ct)] + \tfrac{1}{2c}\int g$ ile sonsuz telde çözümü yazar ve sonlu telde tek (odd) genişleme ile Fourier çözümüyle eşdeğerliğini açıklar.
- Çekme noktası $x_0$'ın harmonik genliklerini nasıl belirlediğini ($x_0 = L/n$ ise $n$. harmonik yok) hesaplar ve $A_2/A_1$ gibi oranları bulur.
- Toplam enerjinin korunduğunu gösterir, dalga denklemini ısı denklemiyle (sönüm yok, sonlu yayılma hızı) karşılaştırır.
Konu anlatımı
Motivasyon: Tel Neden Belirli Notaları Çalar?
Titreşen Telin Denklemi: Küçük Açı Türetmesi
Sabit Uçlu Tel: Ayırma Yöntemi
Frekanslar, Harmonikler ve Düğüm Noktaları
Çekme Noktası Hangi Harmonikleri Belirler?
d'Alembert Çözümü: İleri ve Geri Giden Dalgalar
Enerji Korunumu ve Isı Denklemiyle Karşılaştırma
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Dikkat Edilecekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyonda Deneyecekleriniz
Anahtar terimler
- Dalga denklemi (wave equation)
- $u_{tt} = c^2 u_{xx}$; küçük genlikli enine titreşimlerin ve dalga yayılımının ikinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemi.
- Dalga hızı $c$
- Gergin telde $c = \sqrt{T/\mu}$; yalnızca gerilme ve çizgisel yoğunluğa bağlıdır, genliğe bağlı değildir.
- Dirichlet sınır koşulu
- Uçlarda $u = 0$; sabit uçlu tel. Özfonksiyonlar $\sin(n\pi x/L)$'dir.
- Kip / harmonik (mode, harmonic)
- $n$. kip $\sin(n\pi x/L)$ biçimli duran dalgadır; frekansı $f_n = nf_1$.
- Temel frekans
- $f_1 = c/2L$; en düşük kipin frekansı, tel titreşiminin periyodu $T_1 = 2L/c$.
- Düğüm noktası (node)
- Bir kipin her zaman sıfır olduğu $x = kL/n$ noktaları; uçlar dışında $n - 1$ tane.
- Duran dalga (standing wave)
- Şekli sabit, genliği zamanla salınan çözüm; zıt yönlerde giden iki eşit dalganın toplamıdır.
- d'Alembert çözümü
- Sonsuz tel için $u = \tfrac12[f(x-ct) + f(x+ct)] + \tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g$; ileri ve geri giden dalgalar.
- Tek genişleme (odd extension)
- $f$ ve $g$'nin $[-L,L]$'ye tek ve $2L$-periyodik taşınması; sabit uçlarda yansımayı ters çevirerek sağlar.
- Enerji korunumu
- $E = \tfrac12\int(\mu u_t^2 + T u_x^2)\,dx$ zamanla değişmez; her kipin enerjisi ayrı ayrı sabittir.
Örnek soru
Uçları sabit, uzunluğu $L = 0{,}4\,\text{m}$, gerilmesi $T = 100\,\text{N}$ ve çizgisel yoğunluğu $\mu = 4\,\text{g/m}$ olan telin temel frekansı yaklaşık kaç Hz'dir?
- 6,25
- 98,8
- 198
- 395
- 31 250
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $\mu = 4\times10^{-3}\,\text{kg/m}$ olarak SI'ya çevrilir.
2. $c = \sqrt{T/\mu} = \sqrt{100/0{,}004} = \sqrt{25000} \approx 158\,\text{m/s}$.
3. $f_1 = \dfrac{c}{2L} = \dfrac{158}{0{,}8} \approx$ 198 Hz.
Diğer şıklar: 395 Hz, paydadaki $2$ çarpanı unutularak ($c/L$) bulunur; 98,8 Hz $c/4L$ ile (bir ucu açık boru formülü) elde edilir; 6,25 Hz için $\mu$ gram cinsinden bırakılmış ($\sqrt{100/4} = 5$, $5/0{,}8$); 31 250 Hz kök alınmadan $T/\mu = 25000$ ile $25000/0{,}8$ hesaplanmış olur.