Diferansiyel Denklemler · 5. Ünite: Laplace Dönüşümleri
Laplace Dönüşümünün Tanımı ve Özellikleri
Laplace dönüşümü (Laplace transform), bir $f(t)$ fonksiyonunu $F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$ integraliyle yeni bir $F(s)$ fonksiyonuna çevirir. Türev almak $s$ ile çarpmaya, sabit katsayılı bir diferansiyel denklem de cebirsel bir denkleme dönüşür; bu yüzden elektrik devrelerinden kontrol sistemlerine kadar mühendislikte vazgeçilmezdir. Bu konuda dönüşümü tanımdan hesaplamayı, hangi $s$ değerlerinde varolduğunu, lineerlik, $s$-ötelemesi ve türev özelliklerini ve temel dönüşüm tablosunu öğreneceksin.
Öğrenme hedefleri
- $F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$ genelleştirilmiş integralini limit olarak yorumlar ve $1$, $t^n$, $e^{at}$, $\sin\omega t$, $\cos\omega t$ fonksiyonlarının dönüşümlerini tanımdan türetir.
- Bir dönüşümün hangi $s$ değerleri için yakınsadığını (örneğin $e^{at}$ için $s > a$) belirler ve yakınsama bölgesi dışında formülü kullanmanın neden anlamsız olduğunu açıklar.
- Parçalı sürekli ve üstel mertebeden (exponential order) fonksiyonlar için varlık teoremini ifade eder; $1/t$ ve $e^{t^2}$ gibi fonksiyonların neden bu çerçevenin dışında kaldığını gösterir.
- Lineerlik ve birinci öteleme özelliğini $L\{e^{ct}f(t)\} = F(s-c)$ kullanarak karmaşık fonksiyonların dönüşümünü işaret hatası yapmadan hesaplar.
- $L\{f'\} = sF(s) - f(0)$ ve $L\{f''\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$ formüllerini türetir ve $L\{t^n f(t)\} = (-1)^n F^{(n)}(s)$ ile birlikte kullanır.
- Dönüşüm tablosunu ve özellikleri birleştirerek $t\sin 2t$ veya $e^{-2t}\sin 3t$ gibi bileşik fonksiyonların dönüşümünü bulur.
Konu anlatımı
Motivasyon: Diferansiyel Denklemi Cebire Çevirmek
Tanım: Genelleştirilmiş İntegral
Temel Dönüşümlerin Tanımdan Türetilmesi
Yakınsama Bölgesi ve Varlık Teoremi
Lineerlik ve Birinci Öteleme (s-Ötelemesi)
Türevin Dönüşümü ve t ile Çarpma
Çözümlü Örnekler
Dönüşüm Tablosu
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyonda Deney
Anahtar terimler
- Laplace dönüşümü (Laplace transform)
- $F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$ ile tanımlanan, $f(t)$'yi $s$ değişkenli $F(s)$'e çeviren integral dönüşümü.
- Genelleştirilmiş integral (improper integral)
- Üst sınırı sonsuz olan integral; $\lim_{A\to\infty}\int_0^A$ limiti olarak tanımlanır. Limit yoksa integral ıraksar.
- Yakınsama bölgesi (region of convergence)
- Dönüşüm integralinin yakınsadığı $s$ değerleri kümesi; genellikle $s > a$ biçiminde bir yarım doğrudur.
- Parçalı sürekli (piecewise continuous)
- Her sonlu aralıkta sonlu sayıda sürekli parçaya ayrılabilen ve parça uçlarında sonlu limitleri olan fonksiyon.
- Üstel mertebe (exponential order)
- $t \ge M$ için $\lvert f(t)\rvert \le Ke^{at}$ olması; $f$'nin en fazla bir üstel kadar hızlı büyümesi.
- Lineerlik (linearity)
- $L\{\alpha f + \beta g\} = \alpha L\{f\} + \beta L\{g\}$ özelliği.
- Birinci öteleme (first shift theorem)
- $L\{e^{ct}f(t)\} = F(s-c)$; zamanda $e^{ct}$ ile çarpmak $s$ ekseninde $c$ kadar sağa kaydırır.
- Türev özelliği
- $L\{f'\} = sF(s) - f(0)$ ve $L\{f''\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$; başlangıç değerleri dönüşüme girer.
- Dönüşüm tablosu
- Temel fonksiyonların ($1$, $t^n$, $e^{at}$, $\sin\omega t$, $\cos\omega t$ ve kombinasyonları) bilinen Laplace dönüşümlerinin listesi.
Örnek soru
$f(t) = e^{-3t}$ fonksiyonunun Laplace dönüşümü ve yakınsama bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?
- $\dfrac{1}{s-3}$, $s > 3$
- $\dfrac{1}{s+3}$, $s > -3$
- $\dfrac{3}{s+3}$, $s > -3$
- $\dfrac{1}{s^2+9}$, $s > 0$
- $\dfrac{1}{s+3}$, $s > 3$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Tanımdan $L\{e^{-3t}\} = \int_0^\infty e^{-st}e^{-3t}\,dt = \int_0^\infty e^{-(s+3)t}\,dt$.
2. $s + 3 > 0$ iken integral yakınsar ve $\dfrac{1}{s+3}$ verir; yani bölge $s > -3$'tür.
3. Genel olarak $L\{e^{at}\} = \dfrac{1}{s-a}$ ve bölge $s > a$; burada $a = -3$.
Cevap: B. A seçeneği $a$'nın işaretini ters alır ($a = +3$). C seçeneği paya gereksiz bir $3$ ekler (üs katsayısı paya çıkmaz). E seçeneği formülü doğru yazıp bölgeyi $s > 3$ alır; $s = 0$ için $e^{-3t}$ zaten söner, dolayısıyla integral yakınsar ve bölge $s > 3$ olamaz.