Diferansiyel Denklemler · 5. Ünite: Laplace Dönüşümleri
Ters Laplace Dönüşümleri
Laplace yöntemiyle bir başlangıç değer problemi çözüldüğünde eldeki sonuç $Y(s)$ gibi bir rasyonel ifadedir; asıl aranan ise $y(t)$'dir. Bu yolun son ve en çok hata yapılan adımı ters Laplace dönüşümüdür (inverse Laplace transform). Bu konuda $F(s)$'i tablodaki basit parçalara ayırmayı (kısmi kesirler, tam kareye tamamlama, $s$-ötelemesi) öğrenecek, ayrıca $F(s)$'in paydasının köklerine, yani kutuplara (poles) bakarak $f(t)$'nin sönüp sönmeyeceğini, salınıp salınmayacağını çözmeden okuyabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Ters dönüşümün tanımını ve lineerliğini kullanarak $F(s)$'i tablo terimlerine ayırır ve $f(t)$'yi yazar.
- Paydası ayrık gerçel köklü bir $F(s)$'i Heaviside örtme yöntemiyle ($A = N(p)/D'(p)$) kısmi kesirlere ayırır.
- Tekrarlı (katlı) kutuplarda tüm $1/(s-p)^k$ terimlerini yazar ve $t\,e^{pt}$ biçimli terimleri elde eder.
- Karmaşık kutuplu paydayı tam kareye tamamlar, $s$-ötelemesiyle $e^{at}\cos\omega t$ ve $e^{at}\sin\omega t$ terimlerini, pay düzeltmesini yaparak yazar.
- Kutupların $s$-düzlemindeki konumundan (sol yarı düzlem, sanal eksen, sağ yarı düzlem) $f(t)$'nin sönüm, salınım ya da büyüme davranışını belirler.
- Payın derecesi paydadan küçük olmayan $F(s)$'te polinom bölme uygular, $\delta(t)$ terimini tanır ve ters dönüşümün tekliğini (Lerch) açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Çözümün Son Adımı
Tanım, Lineerlik ve Tablodan Okuma
Kısmi Kesirler: Ayrık Gerçel Kutuplar ve Heaviside Yöntemi
Tekrarlı Kutuplar
Karmaşık Kutuplar: Tam Kareye Tamamlama ve s-Ötelemesi
Kutupların Konumu ve f(t) Davranışı
Derece Koşulu, Polinom Bölme ve Tekillik
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyonda Dene
Anahtar terimler
- Ters Laplace dönüşümü (inverse Laplace transform)
- $F(s) = \mathcal{L}\{f\}$ olan $f(t)$'yi veren işlem; lineerdir ve $t \geq 0$ için sürekli fonksiyonlar arasında tektir.
- Kutup (pole)
- $F(s) = N/D$'nin paydasının kökü; $f(t)$'deki $e^{pt}$ terimlerini ve davranışı belirler.
- Sıfır (zero)
- $F(s)$'in payının kökü; katsayıları ve fazı etkiler, zarfın türünü etkilemez.
- Kısmi kesirler (partial fractions)
- Rasyonel $F(s)$'in tablo terimlerine ayrıştırılması.
- Heaviside örtme yöntemi (cover-up method)
- Ayrık kutuplarda $A_k = N(p_k)/D'(p_k)$ ile katsayı bulma; $(s-p_k)$ çarpanını örtüp $s = p_k$ alma.
- Katlı kutup (repeated pole)
- Paydada $(s-p)^m$ çarpanı; $f(t)$'ye $t^{k}e^{pt}$ terimleri getirir.
- Tam kareye tamamlama (completing the square)
- $s^2 + bs + c = (s-\sigma)^2 + \omega^2$ yazılışı; karmaşık kutuplu paydalarda $s$-ötelemesini mümkün kılar.
- s-ötelemesi (first shifting theorem)
- $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$; $e^{at}\sin\omega t$ ve $e^{at}\cos\omega t$ tablo satırlarının kaynağı.
- Dirac delta (Dirac delta)
- $\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$; pay derecesi paydadan küçük olmayan $F(s)$'te polinom kısmının zaman karşılığı.
- Lerch teoremi (Lerch's theorem)
- İki sürekli fonksiyon aynı Laplace dönüşümüne sahipse özdeştir; ters dönüşüm tekliği.
Örnek soru
$F(s) = \dfrac{4}{s^3} - \dfrac{2}{s+5}$ ise $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$ aşağıdakilerden hangisidir?
- $4t^2 - 2e^{-5t}$
- $2t^2 - 2e^{5t}$
- $\tfrac{2}{3}t^3 - 2e^{-5t}$
- $2t^2 - 2e^{-5t}$
- $2t^2 - 2e^{-t/5}$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Lineerlikten $\mathcal{L}^{-1}$ terim terim uygulanır.
2. Tabloda $\mathcal{L}\{t^n\} = n!/s^{n+1}$ olduğundan $s^3$ için $n = 2$ ve $\mathcal{L}^{-1}\{4/s^3\} = 4\cdot\dfrac{t^2}{2!} = 2t^2$.
3. $\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+5)\} = e^{-5t}$ (kutup $s = -5$ olduğundan üs $-5t$), dolayısıyla ikinci terim $-2e^{-5t}$.
Cevap: D. A seçeneği $n!$ bölmesini unutur. B seçeneği $s+5$'ten üssü $+5t$ okur. C seçeneği $s^3$'ten $n = 3$ çıkarır; oysa $n+1 = 3$'tür. E seçeneği sabiti üsse taşır.