Diferansiyel Denklemler · 8. Ünite: Kısmi Diferansiyel Denklemler ve Fourier Serileri
Ortogonal Fonksiyonlar ve Fourier Serileri
Isı iletimi, titreşen tel ve elektrik sinyalleri gibi periyodik olaylarda karşılaştığımız fonksiyonları sinüs ve kosinüslerin toplamı olarak yazabilir miyiz? Fourier serisi bu soruya evet der ve bunu vektör uzayındaki dik izdüşüm fikriyle yapar: fonksiyonlar arasında bir iç çarpım tanımlanır, sin ve cos sistemi bu iç çarpıma göre birbirine diktir ve katsayılar izdüşümle bulunur. Konunun sonunda trigonometrik sistemin ortogonalliğini kanıtlayacak, Euler–Fourier katsayılarını türetecek, serinin hangi değere yakınsadığını (süreksizlikte dahil) söyleyecek, çift/tek ve yarım aralık genişlemelerini kuracak, Gibbs olayını ve Parseval özdeşliğini yorumlayacaksın. Bu araçlar, sonraki konularda değişkenlerine ayırma yöntemiyle ısı, dalga ve Laplace denklemlerini çözmenin temelidir.
Öğrenme hedefleri
- İki fonksiyonun $[a,b]$ üzerindeki iç çarpımını ve normunu hesaplar, verilen bir fonksiyon çiftinin ortogonal olup olmadığını belirler.
- $\{1, \cos\frac{n\pi x}{L}, \sin\frac{n\pi x}{L}\}$ sisteminin $[-L,L]$ üzerindeki ortogonalliğini integral hesabıyla kanıtlar ve normlarını bulur.
- Euler–Fourier katsayılarını ($a_0$, $a_n$, $b_n$) türetir; verilen $f$ için katsayıları hesaplar ve $a_0/2$ ile $a_0$ ayrımını doğru yapar.
- $f$'nin periyodik genişlemesini çizer ve Dirichlet teoremine göre serinin süreklilik ve süreksizlik noktalarındaki yakınsama değerini söyler.
- Çift ve tek fonksiyonlarda hangi katsayıların sıfır olduğunu söyler; $[0,L]$ üzerindeki bir fonksiyonu kosinüs ya da sinüs serisine açar.
- Gibbs olayını (yaklaşık %9 aşım) ve Parseval özdeşliğini yorumlar, serinin terim terim türetilebilmesi ve integrallenebilmesi için gereken koşulları değerlendirir.
Konu anlatımı
Motivasyon: Fonksiyonu Parçalarına Ayırmak
Ortogonal Fonksiyon Kümeleri ve İç Çarpım
Trigonometrik Sistemin Ortogonalliği (Türetme)
Fourier Serisi ve Euler–Fourier Katsayıları (Türetme)
Periyodik Genişleme ve Dirichlet Teoremi
Çift ve Tek Fonksiyonlar, Yarım Aralık Genişlemeleri
Çözümlü Örnekler
Gibbs Olayı
Parseval Özdeşliği ve Enerji
Terim Terim Türev ve İntegral
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- İç çarpım (inner product)
- $\langle f,g\rangle=\int_a^b f\,g\,dx$; fonksiyonlar için nokta çarpım benzeri. Norm: $\lVert f\rVert^2=\langle f,f\rangle$.
- Ortogonal küme
- Farklı iki üyesinin iç çarpımı sıfır olan fonksiyon kümesi. Normları 1 ise ortonormaldir.
- Trigonometrik sistem
- $\{1,\cos\frac{n\pi x}{L},\sin\frac{n\pi x}{L}\}$; $[-L,L]$'de ortogonal; normların kareleri $2L$ (sabit) ve $L$ (diğerleri).
- Euler–Fourier katsayıları
- $a_n=\frac1L\int f\cos\frac{n\pi x}{L}dx$, $b_n=\frac1L\int f\sin\frac{n\pi x}{L}dx$; sabit terim $a_0/2$, $f$'nin ortalamasıdır.
- Periyodik genişleme (periodic extension)
- $f$'nin $(-L,L)$ dışına $2L$ periyotlu uzatılması; Fourier serisinin gerçekte temsil ettiği fonksiyon.
- Dirichlet teoremi
- Parçalı düzgün $f$ için seri her noktada $\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$ değerine yakınsar.
- Kosinüs ve sinüs serisi
- Çift $f$ yalnız kosinüs ($b_n=0$), tek $f$ yalnız sinüs ($a_n=0$) içerir; $[0,L]$'de yarım aralık genişlemesi çift ya da tek uzatmayla yapılır.
- Gibbs olayı (Gibbs phenomenon)
- Süreksizlik yakınında kısmi toplamların sıçramanın yaklaşık %8,95'i kadar aşması; $N$ artınca daralır ama kaybolmaz.
- Parseval özdeşliği
- $\frac1\pi\int f^2dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum(a_n^2+b_n^2)$; toplam enerji harmoniklerin enerjilerinin toplamıdır.
Örnek soru
$[-\pi,\pi]$ aralığında $\langle f,g\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}f\,g\,dx$ iç çarpımına göre aşağıdaki fonksiyon çiftlerinden hangisi ortogonaldir?
- $1$ ve $x^2$
- $x$ ve $\sin x$
- $\sin x$ ve $x\cos x$
- $x^2$ ve $\sin 3x$
- $\cos x$ ve $x^2$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Simetrik aralıkta tek fonksiyonun integrali sıfırdır; çift×tek çarpımı tektir.
2. $x^2$ çift, $\sin 3x$ tek olduğundan $\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin 3x\,dx = 0$: çift ortogonaldir.
3. Diğerleri: $\langle 1,x^2\rangle = \tfrac{2\pi^3}{3}$, $\langle x,\sin x\rangle = 2\pi$ (tek×tek = çift, pozitif), $\langle \sin x, x\cos x\rangle = \int\tfrac{x}{2}\sin 2x\,dx = -\tfrac\pi2$, $\langle\cos x, x^2\rangle = -4\pi$; hiçbiri sıfır değildir.
Cevap: D. Çeldiriciler "iki fonksiyon aynı karakterde olduğu için" ya da "biri $\cos$ olduğu için" ortogonal sanma hatasından gelir; ortogonallik yalnızca integralin sıfır çıkmasıyla belirlenir.