Diferansiyel Denklemler · 8. Ünite: Kısmi Diferansiyel Denklemler ve Fourier Serileri
Değişkenlerine Ayırma Yöntemi
Bir çubuktaki sıcaklık, gerilmiş bir telin titreşimi ve bir plakadaki kararlı sıcaklık dağılımı birer kısmi diferansiyel denklem (partial differential equation, PDE) ile modellenir. Değişkenlerine ayırma yöntemi, bu denklemleri iki ya da daha fazla adi diferansiyel denkleme (ADD) bölerek çözer: $u(x,t) = X(x)\,T(t)$ denemesi PDE'yi bir özdeğer problemine ve bir zaman (ya da ikinci uzay) denklemine ayırır. Konunun sonunda ayırma sabitini kurar, sınır koşullarına göre özdeğerleri ($\lambda_n$) ve özfonksiyonları ($X_n$) bulur, $\lambda = 0$ durumunu atlamadan durum analizi yapar, çözümleri süperpozisyonla toplayıp başlangıç koşulundan Fourier katsayılarını hesaplar ve yöntemin hangi problemlere uygulanabileceğini söyleyebilirsin.
Öğrenme hedefleri
- Bir PDE'nin ve sınır koşullarının lineer ve homojen olup olmadığını belirler; süperpozisyon ilkesinin hangi koşulda geçerli olduğunu açıklar.
- Isı, dalga ve Laplace denklemlerinde $u = X(x)T(t)$ (ya da $X(x)Y(y)$) denemesiyle değişkenleri ayırır, ayırma sabitini $-\lambda$ ile yazıp iki ADD elde eder.
- $X'' + \lambda X = 0$ özdeğer probleminde $\lambda < 0$, $\lambda = 0$ ve $\lambda > 0$ durumlarını ayrı ayrı inceler ve sınır koşullarından özdeğerleri ile özfonksiyonları bulur.
- Dirichlet–Dirichlet, Neumann–Neumann ve karışık sınır koşulları için $\lambda_n$ formüllerini (özellikle $\lambda = 0$'ın hangi çiftte özdeğer olduğunu) ayırt eder ve $L$'ye bağlı sayısal değerlerini hesaplar.
- Ayrılmış çözümleri $u = \sum c_n X_n T_n$ biçiminde toplar ve özfonksiyonların ortogonalliğini kullanarak $c_n$ katsayılarını başlangıç koşulundan (Fourier katsayısı olarak) bulur.
- Yöntemin uygulanabilirlik koşullarını (lineerlik, homojenlik, ayrılabilir geometri) sınar; homojen olmayan sınır koşullarını kararlı hal çözümünü ayırarak homojen hâle getirir.
Konu anlatımı
Bağlam: Neden Değişkenleri Ayırırız?
Lineer Homojen PDE ve Sınır Koşulları
Ayırma: Isı, Dalga ve Laplace Denklemleri
Özdeğer Problemi ve Durum Analizi
Sınır Koşullarına Göre Özdeğerler
Süperpozisyon, Ortogonallik ve Katsayılar
Çözümlü Örnekler
Yöntemin Uygulanabilirliği ve Homojen Olmayan Koşullar
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyonda Dene
Anahtar terimler
- Değişkenlerine ayırma (separation of variables)
- Çözümü $u = X(x)T(t)$ gibi tek değişkenli çarpanların çarpımı olarak arayıp PDE'yi adi diferansiyel denklemlere bölme yöntemi.
- Süperpozisyon ilkesi (superposition principle)
- Lineer homojen PDE ve homojen sınır koşullarında çözümlerin lineer birleşimlerinin de çözüm olması.
- Ayırma sabiti (separation constant)
- Her iki tarafı farklı değişkenlere bağlı denklemin ortak sabiti; burada $-\lambda$ ile yazılır ve özdeğer parametresi olur.
- Özdeğer ve özfonksiyon (eigenvalue, eigenfunction)
- Sınır koşullarıyla birlikte $X'' + \lambda X = 0$ probleminin sıfırdan farklı çözüm verdiği $\lambda_n$ ve karşılık gelen $X_n$.
- Sturm–Liouville problemi
- Özdeğerleri reel, özfonksiyonları ağırlıkla ortogonal olan sınır değer problemleri sınıfı; $X'' + \lambda X = 0$ en basit örneğidir.
- Dirichlet ve Neumann koşulu
- Sınırda fonksiyonun değerinin ($u = 0$) ya da türevinin ($u_x = 0$, yalıtım) belirtilmesi.
- Durum analizi (case analysis)
- $\lambda < 0$, $\lambda = 0$ ve $\lambda > 0$ durumlarının ayrı ayrı incelenerek özdeğerlerin belirlenmesi.
- Ortogonallik (orthogonality)
- Farklı özdeğerlere ait özfonksiyonların $\int_0^L X_mX_n\,dx = 0$ sağlaması; Fourier katsayılarını bulmayı sağlar.
- Kararlı hâl çözümü (steady-state)
- Zamandan bağımsız çözüm; homojen olmayan sınır koşullarında $u = w(x) + v$ ayrımında $w$ olarak çıkarılır.
Örnek soru
$u_t = 3u_{xx}$ denkleminde $u = X(x)T(t)$ denemesi yapılıp ayırma sabiti $-\lambda$ seçiliyor. Elde edilen adi diferansiyel denklemler hangisidir?
- $X'' + \lambda X = 0,\quad T' + \lambda T = 0$
- $X'' + 3\lambda X = 0,\quad T' + \lambda T = 0$
- $X'' + \lambda X = 0,\quad T' + 3\lambda T = 0$
- $X'' + \lambda X = 0,\quad T' - 3\lambda T = 0$
- $X'' + \lambda X = 0,\quad T'' + 3\lambda T = 0$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $u = XT$ yerine konursa $XT' = 3X''T$ olur.
2. Her iki yanı $3XT$ ile bölersek $\dfrac{T'}{3T} = \dfrac{X''}{X} = -\lambda$ bulunur.
3. Soldaki eşitlik $T' = -3\lambda T$, yani $T' + 3\lambda T = 0$; sağdaki eşitlik $X'' + \lambda X = 0$ verir.
Doğru yanıt: $X'' + \lambda X = 0,\ T' + 3\lambda T = 0$.
Çeldiriciler: katsayı $3$'ün unutulması (birinci seçenek), $3$'ün yanlış tarafa yazılması (ikinci), zaman denkleminde işaret hatası (dördüncü: $T' = +3\lambda T$ ile $X'' = -\lambda X$ aynı sabite karşılık gelmez), $T$'nin mertebesinin dalga denklemiyle karıştırılması (beşinci).