Diferansiyel Denklemler · 6. Ünite: Diferansiyel Denklem Sistemleri
Sabit Katsayılı Homojen Lineer Sistemler
Birbirine bağlı iki tankın tuz derişimi, çiftli yaylar, rekabet eden iki tür: hepsi $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ biçiminde, sabit katsayılı bir lineer sisteme varır. Tek denklemdeki $y = e^{rt}$ denemesinin matris karşılığı $\mathbf{x} = \boldsymbol{\xi}e^{\lambda t}$ denemesidir ve diferansiyel denklem sistemini $A$ matrisinin özdeğer–özvektör problemine çevirir. Konunun sonunda karakteristik denklemi kurup özdeğerlerin üç durumuna (ayrık reel, karmaşık eşlenik, tekrarlı) göre genel çözümü yazabilecek, sabitleri başlangıç koşulundan bulabilecek ve sistemi tek bir yüksek mertebeden denkleme dönüştürerek çözümleri karşılaştırabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ sisteminde $\mathbf{x} = \boldsymbol{\xi}e^{\lambda t}$ denemesinden $(A - \lambda I)\boldsymbol{\xi} = \mathbf{0}$ ve $\det(A - \lambda I) = 0$ denklemlerini türetir, özdeğer ve özvektörleri hesaplar.
- Ayrık reel özdeğerlerde genel çözümü $c_1\boldsymbol{\xi}_1e^{\lambda_1t} + c_2\boldsymbol{\xi}_2e^{\lambda_2t}$ olarak yazar ve sabitleri başlangıç koşulundan bulur.
- Karmaşık eşlenik özdeğerlerde karmaşık çözümün reel ve sanal kısmından iki bağımsız reel çözüm üretir.
- Tekrarlı özdeğerde tam özvektör takımı ile defektif durumu ayırt eder; defektif durumda genelleştirilmiş özvektörle $\mathbf{x} = \boldsymbol{\xi}te^{\lambda t} + \boldsymbol{\eta}e^{\lambda t}$ çözümünü kurar.
- İkinci mertebeden tek bir denklemi $x_1 = y,\ x_2 = y'$ ile sisteme çevirir ve iki gösterimin aynı kökleri ve aynı çözümü verdiğini gösterir.
- Köşegenleştirilebilir bir $3 \times 3$ sistemde (reel ve karmaşık özdeğerlerle) genel çözümü kurar.
Konu anlatımı
Motivasyon: Bağlı Sistemler
Deneme Çözümü ve Karakteristik Denklem
Durum 1: Ayrık Reel Özdeğerler
Durum 2: Karmaşık Eşlenik Özdeğerler
Durum 3: Tekrarlı Özdeğer ve Genelleştirilmiş Özvektör
Tek Denklemle Eşdeğerlik ve $3 \times 3$ Sistem
Sınır Durumları ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyona Dönüş
Anahtar terimler
- Sabit katsayılı homojen lineer sistem
- Katsayı matrisi $t$'den bağımsız olan ve sağ tarafında zorlayıcı terim bulunmayan $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ sistemi.
- Özdeğer (eigenvalue)
- $A\boldsymbol{\xi} = \lambda\boldsymbol{\xi}$ eşitliğini sıfırdan farklı bir $\boldsymbol{\xi}$ ile sağlayan $\lambda$; $\det(A - \lambda I) = 0$ denkleminin kökü.
- Özvektör (eigenvector)
- $\lambda$ özdeğerine ait $(A - \lambda I)\boldsymbol{\xi} = \mathbf{0}$ çözümü; ölçeği keyfidir, yönü (doğrusu) belirleyicidir.
- Karakteristik denklem
- $2 \times 2$ için $\lambda^2 - \operatorname{tr}A\,\lambda + \det A = 0$; kökleri özdeğerlerdir.
- Temel çözümler
- Genel çözümü oluşturan, $n \times n$ sistemde $n$ tane lineer bağımsız çözüm; genel çözüm bunların lineer birleşimidir.
- Karmaşık özdeğer çifti
- $\alpha \pm i\beta$; karmaşık çözümün reel ve sanal kısmı iki bağımsız reel çözüm verir ve $\alpha$ genliği, $\beta$ dönüş hızını belirler.
- Defektif özdeğer
- Cebirsel katı geometrik katından büyük olan özdeğer; $2 \times 2$'de katlı $\lambda$ için yalnızca bir bağımsız özvektör vardır.
- Genelleştirilmiş özvektör
- $(A - \lambda I)\boldsymbol{\eta} = \boldsymbol{\xi}$ koşulunu sağlayan vektör; ikinci çözüm $\boldsymbol{\xi}te^{\lambda t} + \boldsymbol{\eta}e^{\lambda t}$'de görünür.
- Başlangıç değer problemi
- $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ ile birlikte $\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$ verilen problem; $c_1, c_2$ bu koşuldan bulunur ve çözüm tektir.
Örnek soru
$A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ matrisli $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ sisteminin özdeğerleri aşağıdakilerden hangisidir?
- $\lambda = 2$ ve $\lambda = -1$
- $\lambda = -2$ ve $\lambda = 1$
- $\lambda = 3$ ve $\lambda = -2$
- $\lambda = -6$ ve $\lambda = 1$
- $\lambda = \dfrac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $\operatorname{tr}A = 3 + (-2) = 1$ ve $\det A = 3\cdot(-2) - (-2)\cdot 2 = -6 + 4 = -2$.
2. Karakteristik denklem $\lambda^2 - \operatorname{tr}A\,\lambda + \det A = \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0$.
3. Özdeğerler $\lambda_1 = 2,\ \lambda_2 = -1$ (ayrık reel; $\Delta = 1 + 8 = 9 > 0$).
Cevap: A. B seçeneği denklemi $\lambda^2 + \lambda - 2$ yazarak ($\operatorname{tr}A$'nın işaretini ters alarak) kökleri tersine çevirir. C seçeneği köşegen girdilerini ($3$ ve $-2$) özdeğer sanır; bu yalnızca $b = c = 0$ iken doğrudur. E seçeneği $\det A$'yı $+2$ alarak $\lambda^2 - \lambda + 2$ ile karmaşık kökler üretir.