Diferansiyel Denklemler · 6. Ünite: Diferansiyel Denklem Sistemleri
Lineer Sistemlerin Temel Teorisi
Birbirine bağlı birden çok nicelik (iki kütleli yay, bağlı tanklar, av–avcı) tek bir skaler denklemle anlatılamaz; bunun yerine $\mathbf{x}' = P(t)\mathbf{x} + \mathbf{g}(t)$ biçiminde bir lineer sistem yazılır. Bu konuda sistemin matris–vektör gösterimini kurar, yüksek mertebeli bir denklemi sisteme çevirir, süperpozisyon (superposition) ilkesini, vektör Wronskian'ını (Wronskian), Abel özdeşliğini, temel çözüm kümesini ve temel matrisi (fundamental matrix) öğrenirsin. Sonunda iki çözümün gerçekten genel çözümü kurup kurmadığını tek bir determinantla karar verebilir ve sabit katsayılı durumda $\Psi(t)$ ile $e^{At}$ arasındaki bağı yazabilirsin.
Öğrenme hedefleri
- Bir lineer sistemi $\mathbf{x}' = P(t)\mathbf{x} + \mathbf{g}(t)$ matris–vektör biçiminde yazar ve homojen ($\mathbf{g}=\mathbf{0}$) ile homojen olmayan durumu ayırt eder.
- $y'' + py' + qy = 0$ ve $y''' + \dots = 0$ gibi yüksek mertebeli denklemleri $x_1 = y,\ x_2 = y',\ \dots$ ile birinci mertebeden sisteme çevirir.
- Varlık–teklik teoremini ve süperpozisyon ilkesini kullanarak çözümlerin lineer birleşimlerinin çözüm olduğunu gösterir; homojen olmayan durumda bu ilkenin neden değiştiğini açıklar.
- $W[\mathbf{x}^{(1)},\dots,\mathbf{x}^{(n)}] = \det[\mathbf{x}^{(1)}\ \cdots\ \mathbf{x}^{(n)}]$ Wronskian'ını hesaplar, Abel özdeşliği $W' = \operatorname{tr}(P)\,W$ ile $W(t)$'yi bulur ve bağımsızlığı karara bağlar.
- Temel çözüm kümesinden temel matrisi $\Psi(t)$ kurar, genel çözümü $\mathbf{x} = \Psi(t)\mathbf{c}$ yazar ve sabit $A$ için $\Psi(t) = e^{At}\Psi(0)$ ilişkisini kullanır.
- Homojen olmayan sistemin genel çözümünü $\mathbf{x} = \mathbf{x}_h + \mathbf{x}_p$ biçiminde kurar ve bir başlangıç koşulunu sağlayan sabitleri bulur.
Konu anlatımı
Neden Sistem? Bağlam ve Matris–Vektör Gösterimi
Yüksek Mertebeli Denklemi Sisteme Çevirme
Varlık–Teklik ve Süperpozisyon
Vektör Wronskian'ı ve Lineer Bağımsızlık
Temel Çözüm Kümesi, Temel Matris ve Genel Çözüm
Homojen Olmayan Sistem: Genel Çözüm
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Ayrıntılar
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyonda Dene
Anahtar terimler
- Lineer sistem (linear system)
- $\mathbf{x}' = P(t)\mathbf{x} + \mathbf{g}(t)$ biçiminde, bilinmeyen vektörün lineer olduğu birinci mertebeden denklemler topluluğu.
- Eşlik matrisi (companion matrix)
- $x_k = y^{(k-1)}$ dönüşümüyle yüksek mertebeli denklemden çıkan, üst köşegen üstü birim kaydırmalı ve son satırı katsayılarla dolu matris.
- Süperpozisyon (superposition)
- Homojen sistemin çözümlerinin lineer birleşiminin de çözüm olması.
- Wronskian (vektör Wronskian'ı)
- $n$ çözüm vektörünün sütun olduğu matrisin determinantı: $W = \det[\mathbf{x}^{(1)}\cdots\mathbf{x}^{(n)}]$.
- Abel özdeşliği (Abel's identity)
- $W' = \operatorname{tr}(P)\,W$; $W$ ya her yerde sıfır ya da hiçbir yerde sıfır değildir.
- Temel çözüm kümesi (fundamental set)
- $W\neq0$ olan $n$ homojen çözüm; genel çözümün temelidir.
- Temel matris (fundamental matrix)
- Temel çözümlerin sütun olarak dizildiği, $\Psi' = P\Psi$ ve $\det\Psi\neq0$ sağlayan $\Psi(t)$.
- Matris üstel (matrix exponential)
- Sabit $A$ için $\Psi(0)=I$ olan temel matris $e^{At}$; $\Psi(t) = e^{At}\Psi(0)$.
- Özel çözüm (particular solution)
- Homojen olmayan sistemin herhangi bir çözümü $\mathbf{x}_p$; genel çözüm $\mathbf{x}_h + \mathbf{x}_p$.
Örnek soru
$y'' + 4y' + 5y = 0$ denklemi $x_1 = y$, $x_2 = y'$ dönüşümüyle $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ sistemine çevriliyor. $A$ hangisidir?
- $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -5 & -4 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -4 & -5 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 0 & -5 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -5 & -4 \end{pmatrix}$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $x_1' = y' = x_2$ olduğundan ilk satır $(0,\ 1)$ olur.
2. $x_2' = y'' = -5y - 4y' = -5x_1 - 4x_2$ olduğundan ikinci satır $(-5,\ -4)$ olur.
3. Böylece $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -5 & -4 \end{pmatrix}$ ve $\operatorname{tr}A = -4$.
Doğru cevap A. B şıkkı denklemi $y'' = +5y + 4y'$ okuyarak işaretleri atlamıştır; C şıkkı $p$ ile $q$ katsayılarını yer değiştirmiştir; D şıkkı matrisin devriğidir ($x_1' = -5x_2$ yazar); E şıkkı birinci satırı $x_1' = x_1$ yapar, bu denklem $x_1' = x_2$ kimliğini taşımaz.