Diferansiyel Denklemler · 2. Ünite: Birinci Mertebeden Denklemlerin Uygulamaları
Serbest Düşme ve Dirençli Ortam Hareketi
Havada düşen bir taş, bir paraşütçü ve yağmur damlası aynı Newton denklemiyle başlar, ama sonları çok farklıdır: dirençsiz modelde hız sonsuza kadar artar, gerçekte ise hız bir üst sınıra (terminal hız) yaklaşır. Bu sınırı birinci mertebeden iki denklem belirler: lineer direnç için $mv' = mg - kv$, kuadratik direnç için $mv' = mg - kv^2$. Konunun sonunda bu denklemleri kurup çözebilecek, terminal hızı ve zaman sabitini bulabilecek, hız–zaman $v(t)$, hız–konum $v(x)$ ve konum–zaman $x(t)$ biçimleri arasında geçiş yapabilecek ve yukarı atışta işaret konvansiyonunu doğru uygulayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Dirençsiz serbest düşme için $mv' = mg$ denklemini çözer; $v = gt$ ve $y = gt^2/2$ sonuçlarını başlangıç koşullarıyla birlikte elde eder.
- Lineer dirençli ortamda $mv' = mg - kv$ denklemini kurup çözer; $v(t) = (mg/k)(1 - e^{-kt/m})$, terminal hızı $mg/k$ ve zaman sabitini $m/k$ yorumlar, $x(t)$'yi integralle bulur.
- Kuadratik dirençte $mv' = mg - kv^2$ denklemini değişkenlerine ayırıp kısmi kesirle çözer; $\tanh$ içeren çözümü ve terminal hızı $\sqrt{mg/k}$ bulur.
- Yukarı atışta işaret konvansiyonunu doğru seçerek çıkış ve düşüş evrelerini ayrı denklemlerle kurar; maksimum yükseklik ve çıkış süresini hesaplar.
- $v\,dv/dx$ dönüşümüyle zamandan bağımsız $v(x)$ denklemini kurar ve belirli bir yoldan sonraki hızı hesaplar.
- Terminal hızda net kuvvetin sıfır olduğunu, kütle ve direnç katsayısına bağımlılığı, lineer ve kuadratik modeller arasındaki farkı açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Dirençsiz Serbest Düşme
Direnç Modelleri ve İşaret Konvansiyonu
Lineer Direnç: Türetme ve Çözüm
Kuadratik Direnç: Türetme ve tanh Çözümü
Yukarı Atış ve İşaret Konvansiyonu (Kuadratik Direnç)
Hız–Konum Biçimi: v dv/dx
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Model Karşılaştırması
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Simülasyonda Dene
Anahtar terimler
- Serbest düşme (free fall)
- Yalnızca yerçekimi etkisindeki hareket; $v = gt$ ve $y = gt^2/2$ (durgun başlangıç, $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$).
- Direnç kuvveti (drag force)
- Akışkanın cisme uyguladığı, hızın tersi yönündeki kuvvet; $kv$ (lineer) ya da $kv^2$ (kuadratik) biçiminde modellenir.
- Terminal hız (terminal velocity)
- Ağırlık ve direncin dengelendiği, ivmenin sıfır olduğu sabit hız; lineerde $mg/k$, kuadratikte $\sqrt{mg/k}$.
- Zaman sabiti (time constant)
- Lineer dirençte $\tau = m/k$; hız $t = \tau$ anında terminal hızın yaklaşık $\%63$'üne ulaşır.
- Hiperbolik tanjant (hyperbolic tangent)
- $\tanh u = (e^u - e^{-u})/(e^u + e^{-u})$; kuadratik dirençte hız çözümünü verir, $0$'dan $1$'e doyan bir eğridir.
- Zincir kuralı dönüşümü ($v\,dv/dx$)
- $dv/dt = v\,dv/dx$ eşitliği; zamandan bağımsız hız–konum denklemi kurmayı sağlar.
- İşaret konvansiyonu (sign convention)
- Pozitif yönün seçimi; ağırlık ve direncin işaretlerini belirler, yukarı atışta evreler arası geçişte kritiktir.
- Otonom denklem (autonomous equation)
- Sağ tarafı yalnızca bağımlı değişkene bağlı denklem; terminal hız kararlı bir denge çözümüdür.
Örnek soru
Dirençsiz ortamda, durgun halden bırakılan bir cismin $3\ \text{s}$ sonraki hızı ve düşülen yolu nedir? ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$, aşağı yön pozitif)
- $v = 29{,}4\ \text{m/s}$, $y = 88{,}2\ \text{m}$
- $v = 44{,}1\ \text{m/s}$, $y = 29{,}4\ \text{m}$
- $v = 29{,}4\ \text{m/s}$, $y = 44{,}1\ \text{m}$
- $v = 14{,}7\ \text{m/s}$, $y = 44{,}1\ \text{m}$
- $v = 29{,}4\ \text{m/s}$, $y = 14{,}7\ \text{m}$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $mv' = mg$ olduğundan $v' = g$ ve $v(0) = 0$ ile $v = gt = 9{,}8\cdot 3 = 29{,}4\ \text{m/s}$.
2. $y' = v$ integre edilince $y = \tfrac{1}{2}gt^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot 9 = 44{,}1\ \text{m}$.
Cevap: C. A seçeneği $y = gt^2$ ile $\tfrac12$ çarpanını unutur; B seçeneği iki büyüklüğü yer değiştirir; E seçeneği $y = gt/2$ gibi birimi tutmayan bir ifade kullanır.