Diferansiyel Denklemler · 2. Ünite: Birinci Mertebeden Denklemlerin Uygulamaları
Newton'un Soğuma Yasası
Bir fincan kahvenin ne kadar sürede içilebilir sıcaklığa indiği, fırından çıkan kekin ne zaman kesilebileceği, hatta bir cesedin ölüm saatinin tahmini aynı tek denkleme dayanır: bir cismin sıcaklık değişim hızı, cisimle ortam arasındaki sıcaklık farkıyla orantılıdır. Bu konuda modeli varsayımlarıyla birlikte kurar, ayrılabilir (separable) denklem olarak çözer, soğuma sabiti $k$'yı iki ölçümden bulur, zaman sabiti ve yarı ömür gibi nicelikleri yorumlar, ısınma durumunu ve değişen ortam sıcaklığını (lineer denklem) ele alırsın. Sonunda ölçümlerden geleceği ve geçmişi tahmin edebilecek, modelin ne zaman çöktüğünü de söyleyebileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Newton'un soğuma yasasını $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)$ biçiminde kurar; sıcaklık düzgünlüğü ve sabit ortam sıcaklığı varsayımlarını ve $k > 0$ işaret gerekçesini açıklar.
- Denklemi değişkenlerine ayırarak $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$ çözümünü türetir ve soğuma ile ısınma durumlarını aynı formülle ele alır.
- Soğuma sabiti $k$'yı, başlangıç sıcaklığı bilinmese bile iki zamanlı ölçümden $k = \frac{1}{t_2 - t_1}\ln\frac{T_1 - T_a}{T_2 - T_a}$ ile hesaplar.
- Zaman sabitini ($1/k$) ve yarı ömrü ($\ln 2 / k$) hesaplar; belirli bir sıcaklığa ulaşma süresini ve belirli bir süre sonraki sıcaklığı tahmin eder.
- Ortam sıcaklığı zamanla değiştiğinde denklemi $T' + kT = kT_a(t)$ lineer biçiminde yazar, integral çarpanıyla çözer ve sıcaklığın ortamdan geri kalmasını yorumlar.
- Olay saati tahmini (ölüm zamanı gibi) problemlerinde geriye doğru çözüm kurar; modelin varsayımlarının bozulduğu durumları tespit eder.
Konu anlatımı
Motivasyon: Kahve Ne Kadar Sürede Soğur?
Model ve Varsayımlar
Çözümün Türetilmesi
Zaman Sabiti, Yarı Ömür ve Sınır Durumları
Soğuma Sabitinin İki Ölçümden Bulunması
Değişen Ortam Sıcaklığı: Lineer Denklem
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Newton'un soğuma yasası
- Sıcaklık değişim hızının, cisim ile ortam arasındaki sıcaklık farkıyla orantılı olduğunu söyleyen model: $T' = -k(T - T_a)$.
- Ortam sıcaklığı ($T_a$)
- Cismi çevreleyen ortamın sıcaklığı; temel modelde sabit kabul edilir ve cismin sıcaklığı bu değere yaklaşır.
- Soğuma sabiti ($k$)
- Cisim ve ortama bağlı, birimi $1/\text{zaman}$ olan pozitif sabit; ısı geçişinin hızını belirler.
- Zaman sabiti ($\tau = 1/k$)
- Sıcaklık farkının $e^{-1}$ katına (yaklaşık $\%36{,}8$) düştüğü süre.
- Yarı ömür ($\ln 2/k$)
- Sıcaklık farkının yarıya indiği süre; başlangıç sıcaklığından bağımsızdır.
- Sıcaklık farkı ($\Delta T = T - T_a$)
- Üstel olarak sönümlenen niceliktir; logaritma ve oranlar bu fark üzerinden alınır.
- Denge çözümü
- $T = T_a$ sabit çözümü; hiçbir çözüm eğrisi bunu sonlu sürede kesmez.
- İntegral çarpanı
- Lineer denklemi tam türev biçimine getiren $e^{kt}$ gibi çarpan; $T_a(t)$ değiştiğinde kullanılır.
- Isıl gecikme
- Ortam sıcaklığı zamanla değişirken cismin ortamı belli bir süre ya da $b/k$ kadar geriden izlemesi.
Örnek soru
Sıcaklığı $T(t)$ olan bir cisim, sıcaklığı sabit $T_a$ olan bir ortamda bırakılıyor. Newton'un soğuma yasasına göre ($k > 0$) cismin sıcaklığı aşağıdaki denklemlerden hangisiyle modellenir?
- $T' = -kT$
- $T' = k(T - T_a)$
- $T' = -k(T + T_a)$
- $T' = -k(T - T_a)^2$
- $T' = -k(T - T_a)$
Doğru cevap: E
Çözüm
1. Hız, cisim ile ortam arasındaki farkla ($T - T_a$) orantılıdır; ilişki doğrusal olmalıdır.
2. Cisim ortamdan sıcakken ($T - T_a > 0$) sıcaklık azalmalıdır, bu yüzden denklemde eksi işaret ve $k > 0$ bulunur.
3. Böylece $T' = -k(T - T_a)$ elde edilir; $T < T_a$ iken $T' > 0$ olur (ısınma).
Cevap: E. A seçeneği ortamı yok sayar ve $T \to 0$ verir; B seçeneğindeki işaret tersine olduğundan sıcaklık $T_a$'dan uzaklaşır (kararsız); D seçeneğinde fark kare alındığı için orantı ilkesi bozulur ve $T < T_a$ iken cisim yine soğur.