Diferansiyel Denklemler · 4. Ünite: Yüksek Mertebeden Denklemlerin Uygulamaları
Zorlanmış Titreşimler ve Rezonans
Salıncakta oturan bir çocuğu doğru anda itmek, köprünün adım uyumuyla yürüyen bir birliğin altında sallanması, radyoda istasyon seçmek ve bir şarap kadehinin sesle kırılması aynı denklemin ürünüdür: $my'' + cy' + ky = F_0\cos\omega t$. Bu konuda çözümü geçici ve kalıcı (steady-state) iki parçaya ayırır, kalıcı genliğin ve fazın sürücü frekansına nasıl bağlı olduğunu türetir, rezonans tepesinin neden doğal frekansta değil biraz solunda durduğunu görür ve sönümsüz sistemdeki vuru (beats) ile sınırsız büyümeyi birbirinden ayırırsın. Sonunda bir sistemin genlik–frekans eğrisini okuyup en büyük tepki frekansını, kalite faktörünü ve enerji aktarımını hesaplayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- $my'' + cy' + ky = F_0\cos\omega t$ denkleminin genel çözümünü geçici (homojen) ve kalıcı (özel) parçaların toplamı olarak yazar ve geçici kısmın neden $c > 0$ iken sönüp gittiğini açıklar.
- Kalıcı çözümün genliğini $R = F_0/\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + c^2\omega^2}$ ve faz gecikmesini $\varphi$ olarak hesaplar; $\omega \ll \omega_0$, $\omega = \omega_0$ ve $\omega \gg \omega_0$ sınırlarında nitel davranışı yorumlar.
- Genlik–frekans eğrisinin tepe frekansını $\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - c^2/(2m^2)}$ olarak türetir, tepenin yalnızca $c^2 < 2km$ iken var olduğunu gösterir ve rezonans frekansının doğal frekanstan farkını hesaplar.
- Sönümsüz sistemde $\omega \neq \omega_0$ için vuruyu (zarf ve vuru periyodu dahil), $\omega = \omega_0$ için $t\sin\omega_0 t$ biçimindeki sınırsız büyümeyi bulur ve ikisini ayırt eder.
- Kalite faktörü $Q \approx 1/(2\zeta)$ ile tepe keskinliğini ve tepe genliğini bağlar; ortalama güç akışını $\tfrac{1}{2}c\omega^2R^2$ olarak hesaplayıp enerji dengesini kurar.
Konu anlatımı
Bağlam: Sürülen Yay–Kütle Sistemi
Geçici ve Kalıcı Çözüm
Genlik–Frekans Eğrisi ve Rezonans Frekansı
Sönümsüz Sistem: Vuru ve Sınırsız Büyüme
Kalite Faktörü ve Enerji Aktarımı
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Zorlanmış titreşim (forced vibration)
- Dışarıdan periyodik bir kuvvetle sürülen sistemin hareketi; $my'' + cy' + ky = F_0\cos\omega t$.
- Geçici çözüm (transient)
- Homojen denklemin çözümü; $c > 0$ iken $e^{-ct/(2m)}$ ile söner ve başlangıç koşullarını taşır.
- Kalıcı çözüm (steady-state)
- Özel çözüm $R\cos(\omega t - \varphi)$; sürücü frekansında salınır, başlangıç koşullarından bağımsızdır.
- Faz gecikmesi (phase lag)
- Yanıtın kuvvetten geri kalma açısı $\varphi = \arctan\dfrac{c\omega}{k - m\omega^2}$; $\omega_0$'da $90^\circ$.
- Genlik–frekans eğrisi (frequency response)
- Kalıcı genliğin $R(\omega)$ sürücü frekansına göre grafiği.
- Rezonans frekansı (resonance frequency)
- Genlik tepesinin frekansı $\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - c^2/(2m^2)}$; sönümde doğal frekansın altına kayar, $c^2 \ge 2km$ iken tepe yoktur.
- Vuru (beats)
- $c = 0$, $\omega \approx \omega_0$ iken yavaş bir zarfla şişip sönen sınırlı salınım; periyodu $2\pi/\lvert\omega_0 - \omega\rvert$.
- Saf rezonans
- $c = 0$ ve $\omega = \omega_0$; çözüm $\dfrac{F_0}{2m\omega_0}\,t\sin\omega_0 t$, genlik doğrusal olarak sınırsız büyür.
- Kalite faktörü (quality factor)
- $Q = k/(c\omega_0) = 1/(2\zeta)$; tepenin yüksekliğini ve darlığını ölçer.
Örnek soru
$y'' + 0{,}5y' + 4y = 2\cos 1{,}5t$ denkleminin kalıcı (steady-state) çözümünün genliği yaklaşık kaç metredir?
- 1,05
- 0,50
- 0,80
- 1,14
- 2,02
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $m = 1$, $c = 0{,}5$, $k = 4$, $F_0 = 2$, $\omega = 1{,}5$.
2. $k - m\omega^2 = 4 - 2{,}25 = 1{,}75$ ve $c\omega = 0{,}75$.
3. $R = \dfrac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + c^2\omega^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{3{,}0625 + 0{,}5625}} = \dfrac{2}{1{,}904} = $ 1,05 m.
Çeldiriciler: $0{,}50$ statik sapma $F_0/k$'dır ($\omega \to 0$ sınırı). $0{,}80$, kareli toplam yerine $2/(1{,}75 + 0{,}75)$ alınarak (karekök ve kareleri unutarak) bulunur. $1{,}14 = 2/1{,}75$ sönüm terimi ihmal edildiğinde çıkar. $2{,}02$ tepe genliğidir ($\omega = \omega_r$ için), $\omega = 1{,}5$ için değil.