Fizik I · 10. Ünite: Dönme Hareketi
Eylemsizlik Momentlerinin Belirlenmesi
Bir cismi dönmeye zorlayan her problemde ilk sorulan şey eylemsizlik momentidir; çünkü $\tau=I\alpha$, $K=\tfrac12I\omega^2$ ve $L=I\omega$ bağıntılarının hepsi $I$'ya dayanır. Bu konuda noktasal kütlelerin toplamını sürekli cisimler için integrale çevirir, çubuk ve disk için $I$'yı türetir, ardından paralel eksen ve dik eksen teoremleriyle tabloda olmayan eksenleri hesaplarsınız. Sonunda bileşik cisimlerin eylemsizlik momentini parçalara ayırarak bulabilir ve fiziksel sarkaç gibi uygulamalarda kullanabilirsiniz.
Öğrenme hedefleri
- Sürekli bir cismin eylemsizlik momentini $I=\int r^2\,dm$ integralini uygun kütle elemanı ($\lambda\,dx$ veya $\sigma\,dA$) seçerek kurup çözer.
- Homojen çubuk ve dolu disk için $I$ değerlerini integralle türetir.
- Paralel eksen teoremini ($I=I_{KM}+Md^2$) ispatlar ve kütle merkezinden geçmeyen eksenler için uygular.
- Dik eksen teoremini ($I_z=I_x+I_y$) düzlemsel levhalar için kullanır ve uygulanabilirlik koşulunu belirtir.
- Bileşik cisimlerin eylemsizlik momentini parçaların toplamı olarak hesaplar; fiziksel sarkaç periyodunu bulur.
Konu anlatımı
Bağlam: Aynı Kütle, Farklı Dönme Direnci
Sürekli Cisimlerde İntegral Yöntemi
Paralel Eksen Teoremi (Steiner): İspat ve Anlam
Dik Eksen Teoremi
Çözümlü Örnekler
Grafik ve Tablo Yorumu
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Eylemsizlik momenti integrali
- $I=\int r^2dm$; $r$ kütle elemanının eksene dik uzaklığıdır.
- Kütle elemanı (mass element)
- Sürekli cisimde $\lambda\,dx$, $\sigma\,dA$ veya $\rho\,dV$ ile ifade edilen sonsuz küçük kütle parçası.
- Paralel eksen teoremi (parallel axis theorem)
- $I=I_{KM}+Md^2$; kütle merkezinden geçen eksene paralel eksen için geçerlidir.
- Dik eksen teoremi (perpendicular axis theorem)
- Düzlemsel levhada $I_z=I_x+I_y$.
- Dönme yarıçapı (radius of gyration)
- $I=Mk^2$ ile tanımlanan $k$; kütle tek noktada toplansa aynı $I$'yı verecek uzaklık.
- Fiziksel sarkaç (physical pendulum)
- Sabit yatay eksen etrafında kendi ağırlığıyla salınan katı cisim; $T=2\pi\sqrt{I/(Mgd)}$.
- Kütle merkezi (center of mass)
- Kütlenin ağırlıklı ortalama konumu; paralel eksen teoreminin referans noktasıdır.
Örnek soru
Kütlesi $3\,\text{kg}$ ve boyu $2\,\text{m}$ olan homojen ince bir çubuğun bir ucundan geçen ve çubuğa dik eksene göre eylemsizlik momenti kaç $\text{kg}\cdot\text{m}^2$'dir?
- 1
- 4
- 2
- 6
- 12
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $I_{KM}=\tfrac1{12}ML^2=\tfrac{3\times4}{12}=1\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$.
2. Paralel eksen: $d=L/2=1\,\text{m}$, $Md^2=3$.
3. $I=1+3=$ 4 kg·m² (doğrudan $\tfrac13ML^2=4$).
Çeldirici: $1$ kütle merkezi değeridir (uç ekseni ile karıştırmak); $12$ ise $ML^2$ almaktır.