Fizik I · 11. Ünite: Açısal Momentum; Genel Dönme
Katı Cisimler İçin Açısal Momentum ve Tork
Sabit bir eksen etrafında dönen katı cisim için $L = I\omega$ yazmıştık; ancak bu bağıntı yalnızca açısal momentumun eksen doğrultusundaki bileşenini verir. Cisim eksene göre simetrik değilse $\vec{L}$ ile $\vec{\omega}$ aynı doğrultuda olmaz, $\vec{L}$ cisimle birlikte döner ve yatakların sürekli bir tork uygulaması gerekir; bu, dengesiz bir tekerleğin titreşiminin nedenidir. Bu bölümde katı cismin açısal momentumunun bileşenlerini hesaplar, $\vec{L}\parallel\vec{\omega}$ koşulunu irdeler ve dış torku olmayan simetrik bir cismin yalpalamasını (torksuz presesyon) çözersiniz.
Öğrenme hedefleri
- Katı cismin sabit eksen etrafındaki açısal momentumunun eksen bileşenini $L_z = I\omega$ ve eksene dik bileşenlerini çarpım eylemsizlikleri ($I_{xz}$, $I_{yz}$) ile hesaplar.
- $\vec{L}$ ile $\vec{\omega}$'nın hangi koşulda paralel olduğunu (asal / simetri ekseni) belirler ve paralel olmadığında yatağa gereken torku $\tau = \omega L_\perp$ ile bulur.
- Eğik eksende dönen iki kütleli çubuk için $\vec{L}$, $K = \tfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\vec{L}$ ve yatak torkunu sayısal olarak hesaplar.
- Torksuz bir eksenel simetrik cismin presesyon hızını $L/I_1$ ve gövdeye göre yalpalama hızını $(I_3 - I_1)\omega_3/I_1$ olarak türetir.
- Disk ve uzun çubuk biçimli cisimlerde yalpalama yönünün zıt olduğunu açıklar; Dünya'nın Euler yalpalama periyodunu tahmin eder.
Konu anlatımı
Bağlam: Dengesiz Tekerlek ve Yalpalayan Disk
Katı Cismin Açısal Momentumu: Bileşenler
Türetme: Torksuz Simetrik Cismin Yalpalaması
Çözümlü Örnekler
Grafik ve Tablo Yorumu
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Bağlantılar ve Özet
Anahtar terimler
- Çarpım eylemsizliği (product of inertia)
- $I_{xz} = \sum m_ix_iz_i$ gibi terimler; $\vec{L}$'nin eksene dik bileşenlerini belirler.
- Asal eksen (principal axis)
- Çarpım eylemsizliklerinin sıfır olduğu eksen; etrafında dönerken $\vec{L}\parallel\vec{\omega}$.
- Simetri ekseni
- Eksenel simetrik cismin $I_3$ eksenidir ve her zaman asal eksendir.
- Torksuz presesyon (torque-free precession)
- Dış tork yokken $\vec{L}$ sabit kalırken simetri ekseninin $\vec{L}$ etrafında koni çizmesi; hızı $L/I_1$.
- Yalpalama (wobble)
- Dönme ekseninin, $\vec{L}$ ile simetri ekseni hizalı olmadığında yaptığı salınım hareketi.
- Dinamik balans
- Kütle ekleyip çıkararak dönme eksenini asal eksen yapma ve yatak torkunu sıfırlama işlemi.
- Yatak torku
- Dönme ekseni asal değilse $\vec{L}$'yi döndürmek için yatakların uyguladığı tork: $\tau = \omega L_\perp$.
- Euler yalpalaması
- Katı Dünya modelinde yaklaşık 306 gün periyotlu kutup hareketi; gözlenen Chandler yalpalaması yaklaşık 433 gündür.
Örnek soru
Sabit bir eksen etrafında düzgün dönen katı bir cisim için açısal momentum $\vec{L}$ ile açısal hız $\vec{\omega}$ aşağıdaki hangi durumda her zaman paraleldir?
- Dönme ekseni cismin kütle merkezinden geçtiği sürece her zaman
- Dönme ekseni cismin bir asal ekseniyse (örneğin simetri ekseniyse)
- Yalnızca cisim bir küre değilse
- Yalnızca $\omega$ zamanla artıyorsa
- Eksen cismin kütle merkezinden geçmiyorsa
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $L_x = -I_{xz}\omega$ ve $L_y = -I_{yz}\omega$ olduğundan $\vec{L}\parallel\vec{\omega}$ olması için çarpım eylemsizliklerinin sıfır olması gerekir; bu, eksenin bir asal eksen olması demektir.
2. Simetri ekseni her zaman asal eksendir. Doğru cevap B.
3. Kütle merkezinden geçen her eksen asal değildir (A yanlış; eğik eksendeki çubuk buna örnektir). Kütle merkezinden geçmeyen eksen (E) asal olabileceği gibi olmayabilir de; $\omega$'nın artması (D) paralelliği belirlemez.