Fizik I · 9. Ünite: Çizgisel Momentum
Kütle Merkezi (KM)
Bir cetveli parmağınızın üzerinde dengelediğinizde, havaya atılan bir çekicin dönerek ama tek bir noktasının düzgün bir parabol çizerek hareket ettiğini gördüğünüzde ya da Dünya–Ay ikilisinin Güneş çevresindeki yörüngesini düşündüğünüzde, hep aynı noktadan söz edersiniz: kütle merkezi. Bu konuda kütle merkezini ayrık kütleler ve sürekli cisimler için tanımlayacak, simetri ve parçalara ayırma yöntemleriyle hesaplayacak, iki cisimli sistemlerde $m_1 d_1 = m_2 d_2$ kuralını türetecek ve kütle merkezinin cismin dışında da olabileceğini örneklerle göreceksiniz.
Öğrenme hedefleri
- Ayrık kütleler sisteminin kütle merkezi koordinatlarını $\vec r_{km} = \sum m_i \vec r_i / M$ ifadesinden bir, iki boyutta hesaplar.
- Sürekli cisimler için $x_{km} = \frac{1}{M}\int x\,dm$ integralini doğrusal, yüzey ve hacim yoğunluğuyla kurar ve değişken yoğunluklu çubukta çözer.
- Simetri, parçalara ayırma ve boşluklu cisim (negatif kütle) yöntemleriyle bileşik cisimlerin kütle merkezini bulur.
- Kütle merkezinin konumunun koordinat başlangıcından bağımsız bir fiziksel nokta olduğunu ispatlar ve $\sum m_i(\vec r_i-\vec r_{km})=0$ özelliğini kullanır.
- Kütle merkezi ile ağırlık merkezinin ne zaman çakıştığını ve kütle merkezinin cisim dışında kaldığı durumları örneklerle açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Hangi Nokta Temsil Eder?
Ayrık Kütleler için Tanım
Sürekli Cisimler: İntegral Tanım
Kütle Merkezi ve Ağırlık Merkezi
Çözümlü Örnekler
Grafik ve Tablo Yorumu
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Kütle merkezi (center of mass)
- Kütle dağılımının kütle ağırlıklı ortalama konumu, $\vec r_{km}=\sum m_i\vec r_i/M$.
- Ağırlık merkezi (center of gravity)
- Bileşke ağırlığın etkidiği nokta; düzgün yerçekimi alanında kütle merkeziyle çakışır.
- Geometrik merkez (centroid)
- Homojen cismin yalnızca şekle bağlı merkezi; yoğunluk sabitse kütle merkeziyle aynıdır.
- Kütle elemanı
- İntegralde kullanılan sonsuz küçük kütle $dm=\lambda\,dx=\sigma\,dA=\rho\,dV$.
- Doğrusal yoğunluk
- Birim uzunluk başına kütle $\lambda$ (kg/m).
- Simetri ilkesi
- Simetri düzlemi ya da ekseni üzerinde bulunan kütle merkezi; hesabı sadeleştirir.
- Boşluk yöntemi
- Delikli cisimde delik, negatif kütleli parça sayılarak kütle merkezinin bulunması.
- İndirgenmiş konum
- Kütle merkezine göre konum; $\sum m_i(\vec r_i-\vec r_{km})=0$.
Örnek soru
Kütlesi $2\,\text{kg}$ olan bir cisim $x=0$ noktasında, kütlesi $3\,\text{kg}$ olan bir cisim $x=5\,\text{m}$ noktasındadır. Kütle merkezinin konumu kaç metredir?
- 2,0
- 2,5
- 1,5
- 3,0
- 4,0
Doğru cevap: D
Çözüm
1. $x_{km} = \dfrac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1+m_2} = \dfrac{2(0)+3(5)}{5} = \mathbf{3{,}0\,m}$.
2. Kontrol: kuralı $m_1d_1 = m_2d_2$: $2(3{,}0) = 3(2{,}0)$ ✓. Kütle merkezi ağır ($3\,\text{kg}$) cisme yakındır.
$2{,}0\,\text{m}$ kütleleri ters kullanmanın (ağır cisme uzak yerleştirmenin) sonucudur. $2{,}5\,\text{m}$ ise kütleleri hesaba katmayan orta noktadır.