Fizik I · 6. Ünite: Kütleçekimi ve Newton'un Sentezi
Kütleçekim Yasasının Vektörel Formu
Kütleçekim kuvveti yalnızca bir büyüklük değil, doğrultusu ve yönü olan bir vektördür. Bu konuda yasayı $\hat r$ birim vektörüyle yazmayı, birden çok kütlenin etkisini süperpozisyon ilkesiyle toplamayı ve simetriyi kullanarak halka gibi yayılı cisimlerin kuvvetini bulmayı öğreneceksin. Sonunda üç ya da dört cisimli bir düzenekte net kuvvetin büyüklük ve yönünü hesaplayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Kütleçekim kuvvetini $\vec F_{12} = -G m_1 m_2\,\hat r_{12}/r^2$ vektörel biçiminde yazar ve işaretin anlamını açıklar.
- Birim vektörü konum vektörlerinden kurar ve iki boyutta kuvvet bileşenlerini hesaplar.
- Süperpozisyon ilkesiyle birden çok cismin uyguladığı net kuvveti vektörel toplamla bulur.
- Simetri argümanlarıyla bileşenleri sadeleştirir (eşkenar üçgen, kare, halka ekseni).
- Halkanın ekseni üzerindeki kuvveti türetir ve $x \gg a$ ile $x \ll a$ sınır durumlarını yorumlar.
- Yalıtılmış sistemde iç kütleçekim kuvvetlerinin vektörel toplamının sıfır olduğunu etki–tepki ile gösterir.
Konu anlatımı
Bağlam: Neden vektör?
Vektörel ifade ve birim vektör
Süperpozisyon ilkesi
Simetri ve halkanın ekseni: türetme
Çözümlü örnekler
Tablo ve grafik yorumu
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Bağlantılar
Anahtar terimler
- Birim vektör (unit vector)
- Büyüklüğü 1 olan, yalnızca yön bildiren vektör; $\hat r = \vec r/|\vec r|$.
- Konum vektörü
- Bir noktanın orijine göre yer vektörü; iki nokta arasındaki yer değiştirme vektörü konum vektörlerinin farkıdır.
- Süperpozisyon ilkesi (superposition principle)
- Birden çok kaynağın etkisinin bağımsız olarak hesaplanıp vektörel toplandığını söyleyen ilke.
- Net kuvvet (net force)
- Bir cisme etkiyen tüm kuvvetlerin vektörel toplamı.
- Etki–tepki çifti
- Vektörel formda $\vec F_{12} = -\vec F_{21}$ olarak yazılan eşit büyüklükte, zıt yönlü kuvvetler.
- Simetri argümanı
- Simetrik düzende bazı kuvvet bileşenlerinin birbirini götürdüğünü kullanarak hesabı sadeleştirme.
- Halka ekseni
- Halkanın düzlemine dik olarak merkezden geçen doğru; üzerinde kuvvet yalnızca eksen bileşenine sahiptir.
Örnek soru
$\vec r_{12}$, 1. cisimden 2. cisme yönelen yer değiştirme vektörü ve $\hat r_{12}$ bunun birim vektörü olsun. 1. cismin 2. cisme uyguladığı kütleçekim kuvveti hangisidir?
- $+\,G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\,\hat r_{12}$
- $-\,G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\,\vec r_{12}$
- $-\,G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\,\hat r_{12}$
- $-\,G\dfrac{m_1 m_2}{r}\,\hat r_{12}$
- $-\,G\dfrac{m_1 m_2}{r^3}\,\hat r_{12}$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Kuvvet 2. cismi 1. cisme doğru çeker; bu yön $\hat r_{12}$'nin tersidir, yani eksi işareti gerekir.
2. Büyüklük $Gm_1m_2/r^2$'dir; $\hat r_{12}$ yalnızca yön verir.
3. $\vec r_{12}$ ile çarpmak boyutu bozar ($1/r$ gibi azalır), $1/r$ ya da $1/r^3$ ile $\hat r_{12}$ kullanmak ters kare yasasından sapar. Doğru ifade $-G\,m_1m_2\,\hat r_{12}/r^2$'dir.