İstatistik ve Olasılık · 7. Ünite: Parametre Tahmini
Ortalama İçin Güven Aralıkları
Nokta tahmini tek bir sayı verir ama o sayının ne kadar güvenilir olduğunu söylemez. Güven aralığı (confidence interval), tahmin hatasını da hesaba katarak "parametre makul olarak şu aralıktadır" diyen bir ifadedir ve anketlerdeki "hata payı", kalite kontroldeki "ortalama ölçüm aralığı" gibi her yerde karşımıza çıkar. Konunun sonunda $\sigma$ bilindiğinde ($z$) ve bilinmediğinde ($t$) ortalama için aralık kuracak, hata payına göre gereken örnek büyüklüğünü bulacak ve %95 güvenin gerçekte ne anlama geldiğini doğru yorumlayacaksın.
Öğrenme hedefleri
- $\sigma$ bilinen normal popülasyonda $\mu$ için $\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt n$ aralığını pivot büyüklükten türetir ve sayısal verilerle hesaplar.
- $\sigma$ bilinmediğinde $T = (\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)$ büyüklüğünün $t(n-1)$ dağıldığını kullanarak $\bar x \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,s/\sqrt n$ aralığını kurar ve $t$ tablosundan kritik değer okur.
- Güven düzeyi, $n$ ve $\sigma$ değiştiğinde hata payı $E$ ile aralık genişliğinin nasıl değiştiğini nicel olarak açıklar.
- Verilen hata payı için gereken en küçük örnek büyüklüğünü $n = (z_{\alpha/2}\sigma/E)^2$ formülüyle (yukarı yuvarlayarak) bulur.
- %95 güven düzeyini 'parametre bu aralıkta %95 olasılıkla' yorumundan ayırarak yöntemin uzun dönem kapsama olasılığı olarak yorumlar.
- Tek yönlü güven sınırı ile $t$ aralığının varsayımlarını (normallik, büyük $n$'de MLT) ve çok küçük $n$ için aralığın yararsız genişliğini değerlendirir.
Konu anlatımı
Motivasyon: Tahminin Hata Payı
σ Bilinirken: z Aralığı ve Türetimi
Güven Düzeyinin Doğru Yorumu
σ Bilinmediğinde: t Aralığı
Örnek Büyüklüğünün Belirlenmesi
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Güven aralığı (confidence interval)
- $\theta$ için $P(L<\theta<U) = 1-\alpha$ olacak biçimde örnekten hesaplanan aralık; yöntemin uzun dönem kapsama olasılığı $1-\alpha$'dır.
- Güven düzeyi (confidence level)
- $1-\alpha$; aralık kurma yönteminin $\theta$'yı yakalama olasılığı, ör. %95.
- Pivot büyüklük
- Dağılımı bilinmeyen parametreye bağlı olmayan, örnek ve parametreden oluşan fonksiyon, ör. $Z = (\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt n)$.
- Hata payı (margin of error)
- Aralığın yarı genişliği: $E = z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt n$ ya da $t_{\alpha/2,n-1}s/\sqrt n$.
- Kritik değer
- Dağılımın kuyruk alanı $\alpha/2$ olan değeri: $z_{\alpha/2}$ ya da $t_{\alpha/2,\nu}$.
- Student t dağılımı
- $\sigma$ yerine $s$ kullanıldığında $(\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)$'in izlediği, $n-1$ serbestlik dereceli, ağır kuyruklu dağılım.
- Serbestlik derecesi (degrees of freedom)
- Tek örneklemde $n-1$; $s$'nin hesabında bağımsız kalan sapma sayısı.
- Tek yönlü güven sınırı
- Yalnızca alt ya da üst sınır veren aralık; $\alpha/2$ yerine $\alpha$ kuyruk alanı kullanılır.
- Tahmin aralığı (prediction interval)
- Yeni bir gözlemin düşeceği aralık: $\bar x \pm t\,s\sqrt{1+1/n}$; ortalama için güven aralığından geniştir.
Örnek soru
Standart sapması bilinen normal popülasyonda $\mu$ için %90 iki yönlü güven aralığı kurulurken kullanılması gereken kritik değer $z_{\alpha/2}$ nedir?
- 1,282
- 1,960
- 1,645
- 2,326
- 2,576
Doğru cevap: C
Çözüm
1. %90 güven için $1-\alpha = 0{,}90$, $\alpha = 0{,}10$ ve iki yönlü olduğundan her kuyruk $\alpha/2 = 0{,}05$'tir.
2. $z_{0{,}05}$: $\Phi(z) = 0{,}95$ koşulundan 1,645.
3. Çeldiriciler: 1,282 $= z_{0{,}10}$ (%80 iki yönlü ya da %90 tek yönlü), 1,960 %95'e, 2,326 $z_{0{,}01}$ (%98 iki yönlü ya da %99 tek yönlü), 2,576 %99 iki yönlüye aittir.
Cevap: C. En sık hata, iki yönlü aralıkta $\alpha$ yerine $\alpha/2$ kullanmayı unutmaktır.