İstatistik ve Olasılık · 7. Ünite: Parametre Tahmini
Ortalamalar Arası Fark İçin Güven Aralıkları
Yeni bir ilaç eskisinden daha mı etkili, bir üretim yöntemi diğerinden daha mı hızlı, bir eğitim programı notları gerçekten yükseltiyor mu? Bu sorular iki ortalamanın farkı $\mu_1-\mu_2$ ile cevaplanır. Fark için güven aralığı hem farkın büyüklüğünü hem de belirsizliğini verir; aralık $0$'ı içermiyorsa fark istatistiksel olarak anlamlıdır. Konunun sonunda bağımsız örneklemlerde ($z$, havuzlu $t$, Welch) ve eşleştirilmiş örneklemlerde doğru yöntemi seçecek, aralığı hesaplayacak ve yorumlayacaksın.
Öğrenme hedefleri
- İki bağımsız örneklem için $\bar X_1-\bar X_2$'nin ortalamasını $\mu_1-\mu_2$ ve varyansını $\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2$ olarak türetir; $\sigma$'lar bilindiğinde $z$ aralığını kurar.
- $\sigma_1 = \sigma_2$ varsayımıyla havuzlu varyans $s_p^2$'yi ve $n_1+n_2-2$ serbestlik dereceli $t$ aralığını hesaplar.
- Varyanslar eşit varsayılamadığında Welch (Satterthwaite) serbestlik derecesini hesaplar ve havuzlu yöntemden farkını yorumlar.
- Eşleştirilmiş (paired) veriyi fark değişkeni $d_i$ üzerinden tek örneklem $t$ aralığına indirger; eşleştirmenin varyansı neden küçülttüğünü $\text{Var}(d) = \sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2$ ile gösterir.
- Bir veri senaryosu için uygun aralık türünü (bağımsız / eşleştirilmiş, $\sigma$ bilinen / bilinmeyen, eşit / eşit olmayan varyans) gerekçesiyle seçer.
- Aralığın $0$'ı içerip içermemesini iki yönlü hipotez testinin kararıyla ilişkilendirir ve eşit gruplar için gereken $n$'yi $n = (z_{\alpha/2})^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)/E^2$ ile bulur.
Konu anlatımı
Motivasyon: İki Ortalamayı Karşılaştırmak
Bağımsız Örneklemler: Fark İçin z Aralığı
σ Bilinmiyor: Havuzlu t ve Welch Aralıkları
Eşleştirilmiş Gözlemler (Paired t)
Yorum, Hipotez Testiyle Bağlantı ve Örnek Büyüklüğü
Çözümlü Örnekler
Karşılaştırma Tablosu: Hangi Aralık?
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Bağımsız örneklemler
- Farklı birimlerden toplanan, ölçümleri birbirini etkilemeyen iki örneklem; $\text{Var}(\bar X_1-\bar X_2) = \sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2$.
- Havuzlu varyans (pooled variance)
- $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ varsayımıyla $s_p^2 = [(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2]/(n_1+n_2-2)$.
- Welch t aralığı
- Eşit varyans varsaymayan, Satterthwaite serbestlik derecesi $\nu$ kullanan $t$ aralığı.
- Eşleştirilmiş örneklemler (paired)
- Aynı birimden ya da bilinçli eşlenmiş çiftlerden gelen ölçümler; analiz $d_i = x_{1i}-x_{2i}$ farkları üzerinden yapılır.
- Fark için hata payı
- $E = c\cdot\text{SE}$; $c$ kritik değer ($z$ ya da $t$), SE farkın standart hatasıdır.
- Satterthwaite serbestlik derecesi
- İki ayrı varyans tahmininin birleşimi için yaklaşık $t$ serbestlik derecesi $\nu$; çoğunlukla tam sayı değildir.
- Anlamlı fark
- Güven aralığının 0'ı içermediği, yani iki yönlü testte $H_0:\mu_1=\mu_2$'nin reddedildiği durum.
- Korelasyonun etkisi
- Eşleştirilmiş ölçümlerde $\text{Var}(d)=\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2$; $\rho>0$ varyansı küçültür.
Örnek soru
Varyansları $\sigma_1^2$ ve $\sigma_2^2$ olan iki popülasyondan, $n_1$ ve $n_2$ büyüklüğünde bağımsız örneklemler alınıyor. $\text{Var}(\bar X_1-\bar X_2)$ aşağıdakilerden hangisidir?
- $\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}-\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}$
- $\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}$
- $\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n_1+n_2}$
- $\dfrac{(\sigma_1+\sigma_2)^2}{n_1+n_2}$
- $\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}\cdot\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Bağımsız rastgele değişkenlerde $\text{Var}(aU+bV) = a^2\text{Var}(U)+b^2\text{Var}(V)$.
2. $\bar X_1-\bar X_2$ için katsayılar $+1$ ve $-1$ olduğundan karesi alınınca ikisi de $+1$ olur: $\text{Var} = \sigma_1^2/n_1 + \sigma_2^2/n_2$.
3. Çıkarma (A) negatif varyans verebilir; C ve D iki örneği tek havuzda birleştirir (aynı varyanslı tek bir popülasyonmuş gibi); E çarpım anlamsızdır.
Cevap: B. Belirsizlikler birbirini götürmez, birikir.