İstatistik ve Olasılık · 6. Ünite: Örnekleme Dağılımları ve Tanımlayıcı İstatistik

Ortalamaların Örnekleme Dağılımı

Bir fabrikanın dolum makinesi her pakete tam $500\,\text{g}$ koymaz; tek bir paketin ağırlığı dalgalanır. Ama $9$ paketin ortalaması çok daha az dalgalanır, $100$ paketin ortalaması daha da az. Bu konu bu sezginin kesin biçimini verir: örnek ortalaması $\bar{X}$'in kendi dağılımı, merkezi ve yayılımı vardır; yayılım $\sigma/\sqrt{n}$ kadardır. Konunun sonunda $\bar{X}$ ile ilgili olasılıkları hesaplayacak, sonlu popülasyon düzeltmesini uygulayacak, iki ortalamanın farkının dağılımını kuracak ve istenen duyarlılık için gerekli örnek büyüklüğünü bulacaksın.

Öğrenme hedefleri

• $\bar{X}$'in örnekleme dağılımının merkezini ve yayılımını ($E(\bar{X}) = \mu$, $\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n}$) türetir ve tek gözlemin dağılımından ayırt eder.
• Normal popülasyonda $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$ olduğunu moment çıkaran fonksiyonla gösterir ve standartlaştırarak $P(\bar{X} < a)$ gibi olasılıkları hesaplar.
• İadesiz çekimde $\mathrm{Var}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}\cdot\dfrac{N-n}{N-1}$ sonucunu türetir ve sonlu popülasyon düzeltmesini sayısal sorularda uygular.
• İki bağımsız örnek ortalamasının farkı $\bar{X}_1 - \bar{X}_2$ için ortalama ve varyansı yazar, olasılık hesaplar.
• İstenen duyarlılık ve güven için $P(|\bar{X} - \mu| < d) \ge 1-\alpha$ koşulundan gerekli $n$'yi bulur ve $n$'nin karekökle çalıştığını yorumlar.

Konu anlatımı

1. Motivasyon: Ortalama Neden Daha Az Dalgalanır?

2. Temel Sonuçlar: Merkez ve Yayılım

3. Normal Popülasyonda Tam Dağılım

4. Sonlu Popülasyon Düzeltmesi

5. İki Ortalamanın Farkı ve Örnek Büyüklüğü

6. Grafik ve Tablo Yorumu: Şekil Hâlâ Popülasyona Bağlı

7. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Örnekleme dağılımı (sampling distribution)

Bir istatistiğin tüm olası $n$ birimlik örneklemler üzerindeki dağılımı; $\bar{X}$ için merkezi $\mu$, yayılımı $\sigma/\sqrt{n}$'dir.

Standart hata (standard error)

İstatistiğin standart sapması; ortalama için $\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n}$ ve $n$'nin karekökü ile küçülür.

Standartlaştırma ($z$-puanı)

$Z = (\bar{X} - \mu)/(\sigma/\sqrt{n})$; ortalaması $0$, varyansı $1$ olan değişkene dönüştürür ve olasılıkları standart normal tablodan okutur.

Sonlu popülasyon düzeltme çarpanı (FPC)

İadesiz çekimde varyansa gelen $(N-n)/(N-1)$ çarpanı; $n = N$ iken $0$, $n/N < 0{,}05$ iken yaklaşık $1$'dir.

Moment çıkaran fonksiyon (MGF)

$M_X(t) = E(e^{tX})$; bağımsız toplamların MGF'si çarpım olduğundan normal ortalamanın dağılımını kolayca verir.

Ortalamaların farkı (difference of means)

Bağımsız $\bar{X}_1 - \bar{X}_2$ için ortalama $\mu_1 - \mu_2$, varyans $\sigma_1^2/n_1 + \sigma_2^2/n_2$.

Yansızlık (unbiasedness)

$E(\bar{X}) = \mu$ olması; ortalama olarak hedefi tutturmak, her örneklemin $\mu$'ye yakın olacağı anlamına gelmez.

Örnek soru

Standart sapması $\sigma = 12$ olan bir popülasyondan $n = 36$ birimlik rastgele örneklem alınıyor. Örnek ortalamasının standart hatası $\sigma_{\bar{X}}$ kaçtır?

1. $2$
2. $0{,}33$
3. $6$
4. $4$
5. $12$

Doğru cevap: A

Çözüm

1. Ortalamanın standart hatası $\sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$'dir.
2. $\sqrt{36} = 6$ olduğundan $\sigma_{\bar{X}} = 12/6 = \mathbf{2}$.
Cevap: A. $4$ değeri varyans $\sigma^2/n = 144/36$'dır (karekök alınmamış); $0{,}33 = 12/36$ ise $\sqrt{n}$ yerine $n$'ye bölmektir; $6$ da $\sigma/2$ gibi anlamsız bir bölmedir; $12$ ise $n$ etkisini hiç hesaba katmayan, tek gözlemin standart sapmasıdır.

İstatistik ve Olasılık: tüm konular