İstatistik ve Olasılık · 6. Ünite: Örnekleme Dağılımları ve Tanımlayıcı İstatistik
Rastgele Örnekleme ve İstatistikler
Bir seçim anketi, bir fabrikadaki kalite kontrol ya da bir ilacın etkisini ölçen klinik deney hep aynı sorunun cevabını arar: tamamını ölçemediğimiz bir popülasyon hakkında, yalnızca bir parçasına bakarak ne söyleyebiliriz? Bu konu cevabın temelini kurar: örneklemin nasıl seçildiği sonucun güvenilirliğini belirler, örneklemden hesaplanan her sayı (istatistik) ise bir rastgele değişkendir ve kendi dağılımı vardır. Konunun sonunda parametre ile istatistiği ayırt edecek, örnekleme yöntemlerini yanlılık açısından değerlendirecek, $\bar{X}$, $S^2$ ve $\hat{p}$ için beklenen değer sonuçlarını türetecek ve küçük bir popülasyonda örnekleme dağılımını elle oluşturabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Verilen bir durumda popülasyon, örneklem, parametre ve istatistik kavramlarını ayırt eder; hangi büyüklüğün sabit, hangisinin rastgele olduğunu belirtir.
- Basit rastgele örneklemin tanımını yapar; $\binom{N}{n}$ ile olası örneklem sayısını ve bir birimin örnekte yer alma olasılığı $n/N$'yi hesaplar.
- Basit rastgele, sistematik, tabakalı, kolayda ve gönüllü örnekleme yöntemlerini tanır; kolayda ve gönüllü örneklemin neden yanlı olduğunu ve $n$'yi büyütmenin bunu düzeltmediğini açıklar.
- $\bar{x}$, $s^2$ ve $\hat{p}$ değerlerini hesaplar; $E(\bar{X}) = \mu$, $\mathrm{Var}(\bar{X}) = \sigma^2/n$ ve $E(S^2) = \sigma^2$ sonuçlarını türetir, $n-1$ bölenin nedenini gösterir.
- Küçük bir popülasyondan olası tüm örneklemleri sayarak $\bar{X}$'in örnekleme dağılımını oluşturur ve iadeli ile iadesiz çekimde varyansı karşılaştırır.
Konu anlatımı
Motivasyon: Parçadan Bütüne
Temel Kavramlar: Popülasyon, Örneklem, Parametre, İstatistik
Örnekleme Yöntemleri ve Yanlılık
Tanımlayıcı İstatistikler ve Örneklem Dağılımları
Türetme: Yansızlık ve Varyans
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Parametre (parameter)
- Popülasyonu özetleyen sabit, genellikle bilinmeyen sayı: $\mu$, $\sigma^2$, $p$.
- İstatistik (statistic)
- Örneklem değerlerinden hesaplanan fonksiyon; örneklemden örnekleme değiştiği için rastgele değişkendir ve örnekleme dağılımı vardır.
- Rastgele örneklem (random sample)
- Aynı dağılımlı ve bağımsız $X_1, \ldots, X_n$ gözlemleri (i.i.d.); iadesiz çekimde bağımsızlık yalnızca yaklaşıktır.
- Basit rastgele örnekleme (SRS)
- Her $n$ birimlik alt kümenin eşit olasılıkla seçildiği çekim; $\binom{N}{n}$ olası örneklem vardır, her birimin seçilme olasılığı $n/N$'dir.
- Tabakalı örnekleme (stratified sampling)
- Homojen tabakalara bölüp her tabakadan ayrı ayrı rastgele çekim; $\bar{x}_{st} = \sum W_h \bar{x}_h$, genellikle SRS'den küçük varyans verir.
- Yanlılık (bias)
- $E(\hat{\theta}) - \theta$ farkı. Kolayda ve gönüllü örneklemde seçim mekanizması yüzünden sıfırdan farklıdır ve $n$ ile küçülmez.
- Yansız tahmin edici (unbiased estimator)
- Beklenen değeri hedef parametreye eşit olan istatistik: $E(\bar{X}) = \mu$, $E(S^2) = \sigma^2$, $E(\hat{P}) = p$.
- Örnekleme dağılımı (sampling distribution)
- Bir istatistiğin, aynı büyüklükte tüm olası örneklemler üzerindeki olasılık dağılımı.
- Standart hata (standard error)
- Bir istatistiğin standart sapması; $\bar{X}$ için $\sigma/\sqrt{n}$ (iadeli) ya da sonlu popülasyon düzeltmeli hâli.
Örnek soru
Bir üniversitede $12\,000$ öğrenci vardır. Rastgele seçilen $150$ öğrencinin günlük ders çalışma süresi ölçülmüş ve ortalama $3{,}4$ saat bulunmuştur. Aşağıdakilerden hangisi bir istatistiktir (statistic)?
- $12\,000$ öğrencinin tamamının ortalama çalışma süresi $\mu$
- $150$ öğrencinin ortalama çalışma süresi $\bar{x} = 3{,}4$ saat
- Popülasyon büyüklüğü $N = 12\,000$
- Popülasyondaki çalışma sürelerinin standart sapması $\sigma$
- Gerçek ortalamanın bilinmeyen değeri $\mu$'nün kendisi
Doğru cevap: B
Çözüm
1. İstatistik, örneklem değerlerinden hesaplanan bir sayıdır; parametre ise popülasyonu özetleyen sabit bir büyüklüktür.
2. $150$ öğrencinin ortalaması $\bar{x} = 3{,}4$ saat örneklemden hesaplanmıştır; başka bir örneklemde farklı çıkacağı için rastgele değişken $\bar{X}$'in gözlenen değeridir.
3. $\mu$ ve $\sigma$ tüm $12\,000$ öğrenciye aittir (parametre); $N$ ise popülasyonun büyüklüğüdür ve ne parametre ne istatistik gibi tahmin edilir, bilinen bir sabittir.
Cevap: B. En güçlü çeldirici A ve E'dir: "ortalama" sözcüğü geçtiği için istatistik sanılır, ama bunlar popülasyonun tamamının ortalamasıdır.