İstatistik ve Olasılık · 8. Ünite: Hipotez Testleri
Tek Örneklem İçin Ortalama Testi (Z ve t Testleri)
Bir üretim hattının ortalama doldurma hacmi etiketteki değerde mi, bir derste öğrencilerin ortalama başarısı geçen yılkinden farklı mı? Bunlar tek bir popülasyonun ortalaması $\mu$ hakkında sorulan sorulardır ve yanıtı bir örneklem ortalaması $\bar{x}$ verir. Popülasyon standart sapması $\sigma$ biliniyorsa $Z$ testi, bilinmiyor ve $s$ ile tahmin ediliyorsa Student $t$ testi kullanılır; ikisinin mantığı aynıdır, farkı yalnızca test istatistiğinin dağılımıdır. Konunun sonunda doğru testi seçebilecek, test istatistiğini, kritik değeri ve p-değerini tablodan ve hesapla bulabilecek, kararı güven aralığıyla ilişkilendirerek yorumlayabilecek ve gerekli örnek büyüklüğünü planlayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- $\sigma$ bilinen ya da bilinmeyen durumlarda ve örneklem büyüklüğüne göre $Z$ ya da $t$ testini seçer, gerekçesini söyler.
- $Z = (\bar{x} - \mu_0)/(\sigma/\sqrt{n})$ ve $T = (\bar{x} - \mu_0)/(s/\sqrt{n})$ istatistiklerini hesaplar; kritik değeri normal ve $t$ tablosundan okur.
- Tek yönlü ve iki yönlü testlerde ret bölgesini kurar, p-değerini hesaplar ya da $t$ tablosundan aralık olarak bulur ve kararı bağlam içinde yazar.
- $t$ dağılımının $T = Z/\sqrt{V/(n-1)}$ biçiminde nasıl oluştuğunu açıklar; serbestlik derecesi $n-1$'in ve ağır kuyrukların nedenini yorumlar.
- İki yönlü testin $100(1-\alpha)\%$ güven aralığıyla eşdeğerliğini kullanarak karar verir ve $Z$ testinde gücü ile gerekli $n$'yi hesaplar.
Konu anlatımı
Motivasyon ve Test Seçimi
Z Testi (σ Bilinen)
t Testi (σ Bilinmeyen) ve t Dağılımının Türetilmesi
Çözümlü Örnekler: t Testi
Güven Aralığı Bağlantısı, Güç ve Örnek Büyüklüğü
Sık Yapılan Hatalar, Sınır Durumları ve Özet
Anahtar terimler
- Z testi
- σ bilinen (ya da n büyük) durumda ortalama için standart normal dağılıma dayanan test.
- t testi (Student)
- σ bilinmeyen durumda s ile tahmin edilen standart hataya dayanan, t(n−1) dağılımlı test.
- Standart hata
- Örneklem ortalamasının standart sapması: σ/√n (σ bilinmiyorsa s/√n).
- Serbestlik derecesi (ν)
- Varyans tahmininde bağımsız bilgi sayısı; tek örneklem t testinde n−1.
- t dağılımı
- Z/√(V/ν) oranı olarak tanımlanan, normalden ağır kuyruklu ve ν→∞ iken N(0,1)'e yakınsayan simetrik dağılım.
- Ret (kritik) bölgesi
- H₀'ın reddedildiği test istatistiği değerleri kümesi; z_α ya da t_α(ν) ile belirlenir.
- p-değeri
- H₀ doğru varsayıldığında gözlenen kadar ya da H₁ yönünde daha uç bir test istatistiğinin olasılığı.
- Güven aralığı eşdeğerliği
- İki yönlü α testi, μ₀'ın %100(1−α) güven aralığında olup olmadığına bakmakla aynı kararı verir.
- Dayanıklılık (robustness)
- Varsayım hafifçe bozulsa da testin Tip I hata olasılığının yaklaşık korunması; büyük n'de normallik sapmalarına karşı artar.
Örnek soru
Normal dağıldığı bilinen bir popülasyondan $n = 12$ gözlem alınmış, popülasyon standart sapması $\sigma$ bilinmemektedir. $H_0: \mu = \mu_0$ için hangi test ve referans dağılım uygundur?
- $Z$ testi, $N(0,1)$; $s$ yerine $\sigma$ yazılır
- $Z$ testi, $N(0,1)$; çünkü popülasyon normaldir
- $t$ testi, $t(11)$
- $t$ testi, $t(12)$
- $\chi^2$ testi, $\chi^2(11)$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $\sigma$ bilinmiyor; standart hata $s/\sqrt{n}$ ile tahmin edilir.
2. Popülasyon normal olduğundan $T = (\bar{X} - \mu_0)/(S/\sqrt{n}) \sim t(n-1)$ olur.
3. $n = 12$ için serbestlik derecesi $\nu = n - 1 = 11$.
Cevap: C. A ve B, $\sigma$ bilinmediği hâlde $Z$ kullanır; popülasyonun normal olması $\sigma$ bilgisinin yerini tutmaz. D serbestlik derecesini $n$ alır; $s^2$ hesabında $\bar{x}$ tahmin edildiği için bir derece kaybedilir. E varyans testlerinde kullanılan dağılımdır, ortalama testinde değil.