İstatistik ve Olasılık · 8. Ünite: Hipotez Testleri
İki Örneklem İçin Ortalama Farkı Testleri
Yeni bir öğretim yöntemi eskisinden daha mı etkili, iki makine aynı ortalama boyutta ürün mü üretiyor, bir tedavi tansiyonu gerçekten düşürüyor mu? Bu sorular iki ortalamayı karşılaştırmayı gerektirir ve doğru yöntem, verinin nasıl toplandığına bağlıdır: iki bağımsız grup mu, yoksa aynı birimlerin iki ölçümü mü? Bu konuda $\sigma$'ların bilindiği $Z$ testini, bilinmeyen ama eşit varyanslar için havuzlu $t$ testini, eşitlik varsaymayan Welch testini ve bağımlı gözlemler için eşleştirilmiş $t$ testini öğrenecek, her birinin standart hatasını ve serbestlik derecesini türetecek, yanlış yöntemin sonucu nasıl bozduğunu sayılarla göreceksin.
Öğrenme hedefleri
- Verinin toplanış biçimine ($\sigma$ bilinirliği, varyans eşitliği, bağımlılık) göre $Z$, havuzlu $t$, Welch $t$ ya da eşleştirilmiş $t$ testini seçer ve gerekçelendirir.
- $\bar{X}_1 - \bar{X}_2$'nin dağılımından standart hatayı $\sqrt{\sigma_1^2/n_1 + \sigma_2^2/n_2}$ olarak türetir; havuzlu varyansı ve serbestlik derecesini $n_1+n_2-2$ olarak hesaplar.
- Welch testinde Satterthwaite serbestlik derecesini hesaplar ve havuzlu testin varyanslar eşit değilken neden yanıltıcı olduğunu sayısal örnekle açıklar.
- Eşleştirilmiş veride farkları $d_i = x_{1i} - x_{2i}$ alıp tek örneklem $t$ testi uygular; eşleştirmenin standart hatayı ne zaman küçülttüğünü $\rho$ üzerinden açıklar.
- İki ortalama farkı için testi ve güven aralığını birlikte yorumlar; verilen güç için her gruptaki gerekli örnek büyüklüğünü hesaplar.
Konu anlatımı
Motivasyon: Hangi İki Örneklem Tasarımı?
Standart Hata ve Z Testi (σ₁, σ₂ Bilinen)
Havuzlu t Testi (σ₁ = σ₂ Bilinmeyen)
Welch Testi (σ₁ ≠ σ₂)
Eşleştirilmiş t Testi
Güven Aralığı, Güç ve Örnek Büyüklüğü
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Bağımsız örneklemler
- İki grubun gözlemlerinin birbirinden bağımsız olduğu tasarım; grup büyüklükleri farklı olabilir.
- Eşleştirilmiş (bağımlı) örneklem
- Aynı birimlerin iki ölçümünden ya da benzer birim çiftlerinden oluşan, farklar üzerinden analiz edilen veri.
- Havuzlu varyans (s_p²)
- Eşit varyans varsayımı altında iki örnek varyansının serbestlik derecesiyle ağırlıklı ortalaması.
- Welch testi
- Varyans eşitliği varsaymayan, Satterthwaite serbestlik dereceli iki örneklem t testi.
- Satterthwaite serbestlik derecesi
- İki ayrı varyans tahmininin toplamı için bir χ² yaklaşımından elde edilen etkin serbestlik derecesi ν*.
- Standart hata (iki örneklem)
- Ortalamalar farkının standart sapması: √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) ya da örnek tahmini.
- Fark değişkeni (d)
- Eşleştirilmiş çift içindeki iki ölçümün farkı; analiz bu n farka tek örneklem t testi uygulanarak yapılır.
- Korelasyon (ρ) ve eşleştirme
- Çiftlerin iki üyesi pozitif ilişkiliyse farkın varyansı σ₁²+σ₂²−2ρσ₁σ₂ ile küçülür ve test güçlenir.
- Eşit gruplar için n formülü
- n ≥ 2σ²(z_{α/2}+z_β)²/Δ²: bir grubun gereken büyüklüğü; tek örneklem formülünün iki katıdır.
Örnek soru
Bir öğretmen $20$ öğrencinin aynı konuyla ilgili sınav puanını, ders anlatımından önce ve sonra ölçmüştür. Ders anlatımının puanları değiştirip değiştirmediğini test etmek için hangi yöntem uygundur?
- Bağımsız iki örneklem $Z$ testi
- Havuzlu $t$ testi, $\nu = 38$
- Welch $t$ testi
- Eşleştirilmiş $t$ testi; farklar üzerinden, $\nu = 19$
- $\chi^2$ bağımsızlık testi
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Aynı $20$ öğrenci iki kez ölçüldüğü için gözlemler çiftler hâlindedir ve birbirine bağlıdır.
2. Her öğrenci için $d_i = $ sonra $-$ önce farkı alınır ve $H_0: \mu_D = 0$ için tek örneklem $t$ testi uygulanır.
3. Serbestlik derecesi çift sayısına göre $n - 1 = 19$'dur.
Cevap: D. A, B ve C iki bağımsız grup varsayar; öğrenci başına iki ölçümün ilişkisini yok sayarlar. Bu, bireyler arası değişkenliği hata terimine katar ve gücü düşürür. E iki kategorik değişkenin ilişkisi içindir.