İstatistik ve Olasılık · 8. Ünite: Hipotez Testleri
Uygunluk (Goodness-of-Fit) ve Bağımsızlık Testleri
Zar adil mi, bezelyelerde renk ve biçim Mendel'in $9:3:3:1$ oranına uyuyor mu, sigara içme alışkanlığı ile bir hastalık arasında ilişki var mı? Bu sorularda veri ölçüm değil, kategorilere düşen sayımlardır ve karşılaştırılan şey gözlenen sayımlar ile bir modelin öngördüğü beklenen sayımlardır. Pearson ki-kare istatistiği $\chi^2 = \sum (O-E)^2/E$ bu karşılaştırmayı tek bir sayıya indirir. Konunun sonunda tek değişkenli uyum iyiliği testini ve iki değişkenli bağımsızlık (homojenlik) testini kurup uygulayacak, beklenen sayıları ve serbestlik derecesini doğru hesaplayacak, koşulları kontrol edecek ve sonucu etki büyüklüğüyle birlikte yorumlayacaksın.
Öğrenme hedefleri
- Kategorik veride gözlenen ($O$) ve beklenen ($E$) sayımlardan $\chi^2 = \sum (O-E)^2/E$ istatistiğini hesaplar ve $\chi^2$ testinin sağ kuyruklu bir test olduğunu açıklar.
- Uyum iyiliği testinde hipotezleri kurar, $E_i = np_i$ değerlerini bulur ve serbestlik derecesini $k - 1 - m$ ile belirler ($m$ veriden tahmin edilen parametre sayısı).
- Bağımsızlık testinde $E_{ij} = R_iC_j/n$ beklenen sayılarını hesaplar, serbestlik derecesini $(r-1)(c-1)$ olarak türetir ve karar verir.
- $k = 2$ için $\chi^2$ istatistiğinin oran testindeki $z^2$'ye eşit olduğunu gösterir; beklenen sayı koşulunu ($E \geq 5$) kontrol edip kategorileri birleştirir.
- $\chi^2$ değerinin $n$ ile büyüdüğünü bilerek ilişkinin gücünü Cramér $V$ ile yorumlar ve test sonucunu nedensellik iddiasından ayırır.
Konu anlatımı
Motivasyon: Sayımları Modelle Karşılaştırmak
Uyum İyiliği Testi: Türetme ve Prosedür
Bağımsızlık Testi: Beklenen Sayılar ve Serbestlik Derecesi
Koşullar, Etki Büyüklüğü ve Yorum
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Pearson ki-kare istatistiği
- χ² = Σ(O−E)²/E; gözlenen ve beklenen sayımlar arasındaki göreli kare sapmaların toplamı.
- Uyum iyiliği testi
- Tek bir kategorik değişkenin gözlenen dağılımının, H₀'da belirtilen olasılıklara uyup uymadığını sınayan χ² testi.
- Beklenen sayım (E)
- H₀ doğru iken kategoride görülmesi beklenen sayı: uyumda np₀, bağımsızlıkta RᵢCⱼ/n.
- Serbestlik derecesi (ν)
- Uyum testinde k−1−m, bağımsızlık testinde (r−1)(c−1); m veriden tahmin edilen parametre sayısıdır.
- Bağımsızlık testi
- İki kategorik değişkenin bağımsız olup olmadığını r×c çapraz tablo üzerinde χ² ile sınayan test.
- Homojenlik testi
- Birkaç grubun bir kategorik değişken dağılımı bakımından aynı olup olmadığını sınar; hesabı bağımsızlık testiyle aynıdır.
- Yates süreklilik düzeltmesi
- 2×2 tablolarda (|O−E|−0,5)² kullanarak ayrık sayımın sürekli χ² ile yaklaştırılmasını iyileştiren düzeltme.
- Cramér V
- χ²'yi n ve tablo boyutuna göre ölçekleyen, 0 ile 1 arasında ilişki gücü ölçüsü.
- Hücre katkısı
- (O−E)²/E; χ²'ye her hücrenin katkısı, uyumsuzluğun nerede toplandığını gösterir.
Örnek soru
Bir zar $120$ kez atılıyor ve $1,\ldots,6$ yüzleri $20, 22, 17, 18, 19, 24$ kez geliyor. Adil zar hipotezi için ($\chi^2_{0{,}05}(5) = 11{,}07$) hangi sonuç doğrudur?
- $\chi^2 = 34$, $\nu = 5$; $H_0$ reddedilir
- $\chi^2 = 1{,}70$, $\nu = 6$; $H_0$ reddedilemez
- $\chi^2 = 1{,}70$, $\nu = 5$; $1{,}70 < 11{,}07$, $H_0$ reddedilemez
- $\chi^2 = 1{,}70$, $\nu = 5$; $1{,}70 < 11{,}07$ olduğundan zar hilelidir
- $\chi^2 = 1{,}70$, $\nu = 5$; $p = 0{,}889$ olduğundan zarın adil olduğu kanıtlanmıştır
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $E_i = 120/6 = 20$. $\chi^2 = \dfrac{(0)^2 + 2^2 + (-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 4^2}{20} = \dfrac{34}{20} = 1{,}70$.
2. $\nu = k - 1 = 5$ ve sağ kuyruk kritik değeri $11{,}07$. $1{,}70 < 11{,}07$ ve $p = 0{,}889 > 0{,}05$.
3. $H_0$ reddedilemez: zarın hileli olduğuna dair kanıt yok.
Cevap: C. A, sapma karelerinin toplamını $E_i$'ye bölmeyi unutur ($34$). B serbestlik derecesini $k = 6$ alır. D kararı tersine okur: küçük $\chi^2$ iyi uyum demektir. E, reddedememeyi $H_0$'ın kanıtı sayar; yalnızca veri $H_0$ ile çelişmiyor.