İstatistik ve Olasılık · 8. Ünite: Hipotez Testleri
Oranlar İçin Hipotez Testleri
Bir seçimde adayın oyu yüzde $50$'yi aşıyor mu, üretimdeki kusurlu oranı sözleşmedeki sınırın üstüne çıktı mı, yeni ilaç eskisinden daha yüksek oranda iyileşme sağlıyor mu? Kategorik sonuçlar (evet/hayır, kusurlu/sağlam) için parametre bir olasılık ya da orandır ve veri bir sayımdır: $n$ denemede $x$ başarı. Bu konuda tek oran için $z$ testini ve kesin binom testini, iki oranın karşılaştırılması için havuzlu $z$ testini türetip uygulayacak, normal yaklaşımın ne zaman çöktüğünü ve süreklilik düzeltmesinin neye yaradığını görecek, test ve güven aralığındaki standart hatanın neden farklı olduğunu açıklayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Bir oran iddiasından $H_0: p = p_0$ ve $H_1$ hipotezlerini kurar; tek yönlü ya da iki yönlü ret bölgesini belirler.
- $X \sim \text{Bin}(n, p_0)$ modelinden normal yaklaşımla $z = (\hat{p} - p_0)/\sqrt{p_0q_0/n}$ istatistiğini türetir, koşulları ($np_0 \geq 5$ ya da $10$, $nq_0 \geq 5$ ya da $10$) kontrol eder ve test eder.
- Kesin binom p-değerini hesaplar; normal yaklaşımın güvenilmez olduğu durumları ve süreklilik düzeltmesinin etkisini sayısal olarak karşılaştırır.
- İki oran farkı için havuzlu $\hat{p} = (x_1 + x_2)/(n_1 + n_2)$ ile $z$ testini uygular; testte havuzlu, güven aralığında havuzsuz standart hatanın nedenini açıklar.
- Tek oran testinde gerekli örnek büyüklüğünü hesaplar ve iki oran testine uyarlar; sonucu bağlam içinde yorumlar.
Konu anlatımı
Motivasyon: Sayımdan Orana
Tek Oran İçin z Testi: Türetme ve Koşullar
Kesin Binom Testi ve Normal Yaklaşımın Sınırı
İki Oran Farkı İçin Test
Güç ve Örnek Büyüklüğü, Güven Aralığı Bağlantısı
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Örneklem oranı (p̂)
- Başarı sayısının deneme sayısına oranı x/n; E(p̂)=p ve Var(p̂)=p(1−p)/n.
- Tek oran z testi
- H₀: p=p₀ altında z=(p̂−p₀)/√(p₀q₀/n) ile yapılan, normal yaklaşıma dayanan test.
- Normal yaklaşım koşulu
- np₀ ve nq₀ yeterince büyük (≥5, tercihen ≥10) olmalı; binom dağılımının yaklaşık simetrik olması içindir.
- Kesin binom testi
- p-değerini Bin(n,p₀) olasılıklarını doğrudan toplayarak hesaplayan, yaklaşım gerektirmeyen test.
- Süreklilik düzeltmesi
- Ayrık X'i normal ile yaklaştırırken x yerine x∓0,5 kullanarak p-değerini kesin değere yaklaştırma.
- Havuzlu oran (p̂)
- İki oranın eşit olduğu H₀ altında ortak p'nin tahmini: (x₁+x₂)/(n₁+n₂); test istatistiğinin SE'sinde kullanılır.
- İki oran z testi
- H₀: p₁=p₂ için (p̂₁−p̂₂)/√(p̂q̂(1/n₁+1/n₂)) istatistiğiyle yapılan, bağımsız örneklemlere dayalı test.
- Wald güven aralığı
- p̂ ± z√(p̂q̂/n) biçimindeki aralık; SE'de p̂ kullanır, küçük n ve uç oranlarda yaklaşıktır.
Örnek soru
Bir sözleşmeye göre tedarikçinin kusurlu ürün oranı $\%4$'ü aşmamalıdır. Müşteri, gerçek kusurlu oranının $\%4$'ü aştığını kanıtlamak istiyor. Uygun hipotez çifti hangisidir?
- $H_0: \hat{p} = 0{,}04,\ H_1: \hat{p} > 0{,}04$
- $H_0: p = 0{,}04,\ H_1: p > 0{,}04$
- $H_0: p > 0{,}04,\ H_1: p = 0{,}04$
- $H_0: p = 0{,}04,\ H_1: p \neq 0{,}04$
- $H_0: p = 0{,}04,\ H_1: p < 0{,}04$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Kanıtlanmak istenen iddia "$p > 0{,}04$" olduğundan $H_1$'e yazılır.
2. $H_0$ eşitlik içerir: $p = 0{,}04$ (sınır değer).
3. Hipotezler popülasyon parametresi $p$ hakkındadır; $H_1$ tek yönlü olduğundan sağ kuyruk testidir.
Cevap: B. A, parametre yerine örneklem oranı $\hat{p}$ kullanır; hipotezler $\hat{p}$ hakkında kurulmaz. C eşitliği $H_1$'e koyar. D iki yönlüdür, iddianın yönünü yok sayar. E yönü ters kurar.