İstatistik ve Olasılık · 7. Ünite: Parametre Tahmini
Varyans İçin Güven Aralıkları
Bir ilaç tabletinin etken madde miktarı yalnızca ortalamada değil, değişkenlikte de hedefi tutturmalıdır; bir makinenin hassasiyeti, bir ölçüm aletinin tekrarlanabilirliği ya da bir portföyün riski varyans ve standart sapmayla ölçülür. Varyans için güven aralığı, ortalama için olandan üç noktada farklıdır: pivot büyüklük ki-kare dağılır, aralık $s^2$ etrafında simetrik değildir ve sonuç normallik varsayımına çok duyarlıdır. Konunun sonunda $\sigma^2$ ve $\sigma$ için iki yönlü ve tek yönlü aralık kuracak, ki-kare tablosundan kritik değer okuyacak, iki varyansın oranı için $F$ aralığını hesaplayacak ve aralığın neden sağlam olmadığını açıklayacaksın.
Öğrenme hedefleri
- $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ sonucunu $\sum Z_i^2$ ayrışımıyla gerekçelendirir ve bu pivottan $\sigma^2$ için aralığı türetir.
- $\sigma^2$ için $\left(\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}},\ \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}\right)$ aralığını hesaplar; ki-kare tablosundan üst ve alt kuyruk kritik değerlerini doğru okur.
- $\sigma$ için aralığı karekökle elde eder; tek yönlü üst ve alt sınırları ($\alpha/2$ yerine $\alpha$) kurar.
- Aralığın $s^2$ etrafında simetrik olmayışının nedenini ki-kare dağılımının sağa çarpıklığıyla açıklar ve $n$ arttıkça asimetrinin azalmasını yorumlar.
- Normalden sapmanın varyans aralığında, ortalama için $t$ aralığına göre çok daha ağır sonuçlar verdiğini $\text{Var}(S^2) = \sigma^4\left(\tfrac{2}{n-1}+\tfrac{\kappa}{n}\right)$ ile gösterir.
- İki bağımsız normal popülasyonun varyans oranı $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ için $F$ aralığını kurar ve $1$'e göre yorumlar; aralığı bir şartnamenin ($\sigma \le \sigma_0$) denetimi için kullanır.
Konu anlatımı
Motivasyon: Değişkenliği Tahmin Etmek
Pivot Büyüklük: (n−1)S²/σ² ~ χ²(n−1)
σ² ve σ İçin İki Yönlü ve Tek Yönlü Aralık
Normallik Varsayımına Duyarlılık
İki Varyansın Oranı İçin F Aralığı
Çözümlü Örnekler
Tablo Okuma ve Ortak Hatalar
Anahtar terimler
- Ki-kare dağılımı (chi-square)
- Bağımsız standart normallerin kareleri toplamı $\sum Z_i^2 \sim \chi^2(k)$; sağa çarpık, ortalaması $k$, varyansı $2k$.
- Varyans için pivot
- $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$; normal popülasyonda dağılımı $\sigma^2$'ye bağlı olmayan büyüklük.
- Kritik değer $\chi^2_{\alpha/2}$
- Sağ kuyruk alanı $\alpha/2$ olan değer; aralığın alt sınırını belirleyen büyük kritik değerdir.
- Asimetrik aralık
- $\sigma^2$ aralığının $s^2$ etrafında simetrik olmaması; ki-kare dağılımının çarpıklığından gelir.
- Standart sapma için aralık
- $\sigma^2$ aralığının uçlarının karekökü: $\sqrt{(n-1)s^2/\chi^2_{\alpha/2}} < \sigma < \sqrt{(n-1)s^2/\chi^2_{1-\alpha/2}}$.
- Fazla basıklık (excess kurtosis)
- $\kappa$; normalde 0. $\text{Var}(S^2)$'yi $\kappa/n$ terimiyle artırır ve ki-kare aralığını geçersiz kılar.
- Dayanıklılık (robustness)
- Varsayımlar bozulduğunda yöntemin geçerli kalması; $t$ aralığı için kısmen sağlanır, ki-kare aralığı için sağlanmaz.
- Varyans oranı aralığı
- $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ için $F(n_1-1,n_2-1)$ pivotundan elde edilen aralık; 1'i içeriyorsa eşit varyans reddedilemez.
- Tek yönlü varyans sınırı
- Yalnızca üst ya da alt sınır veren aralık; $\alpha/2$ yerine $\alpha$ kuyruk alanı kullanılır.
Örnek soru
$X_1,\dots,X_n$ normal $N(\mu,\sigma^2)$ popülasyondan rastgele örneklem ve $S^2$ örnek varyansı olsun. $\sigma^2$ için güven aralığının dayandığı pivot büyüklük aşağıdakilerden hangisinin dağılımına sahiptir?
- $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim t(n-1)$
- $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim N(0,1)$
- $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$
- $nS^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n)$
- $S^2/\sigma^2 \sim F(n-1,\,n)$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $\sum Z_i^2 \sim \chi^2(n)$ ve $\bar X$ kullanıldığından bir serbestlik derecesi kaybolur: $V = (n-1)S^2/\sigma^2 = \sum(X_i-\bar X)^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$.
2. $t$ dağılımı ortalama için ($\sigma$ bilinmediğinde), standart normal ise $\sigma$ bilinen ortalama için pivottur (A ve B). D yanlış sd ve yanlış payda (sd $n$ yalnızca $\mu$ bilindiğinde $\sum(X_i-\mu)^2/\sigma^2$ için geçerlidir). E, iki varyansın oranı içindir.
Cevap: C.