İstatistik ve Olasılık · 7. Ünite: Parametre Tahmini
Oranlar İçin Güven Aralıkları
Seçim anketlerinden kalite kontrole, aşı etkinliğinden web sitesi dönüşüm oranlarına kadar pek çok soru bir popülasyon oranı $p$ hakkındadır ve cevabı "yüzde kaç" biçimindedir. Oran için güven aralığı, örnek oranı $\hat p$'nin etrafındaki hata payını verir ve haberlerde "hata payı $\pm 3$ puan" olarak sunulan sayının kaynağıdır. Konunun sonunda Wald aralığını merkezi limit teoreminden türetecek, gereken örnek büyüklüğünü hesaplayacak, yaklaşımın ne zaman çöktüğünü anlayacak ve Wilson ile Agresti–Coull gibi iyileştirmeleri uygulayacak, iki oran farkı için aralık kuracaksın.
Öğrenme hedefleri
- $\hat p = X/n$'nin ortalamasını $p$, varyansını $p(1-p)/n$ olarak türetir ve normal yaklaşımın koşullarını ($np \ge 10$, $n(1-p) \ge 10$) kontrol eder.
- Wald aralığını $\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$ biçiminde kurar ve hata payını hesaplar.
- Hata payı $E$ için gereken örnek büyüklüğünü $n = z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)/E^2$ ile bulur; $p(1-p) \le 1/4$ olduğundan en kötü durum $n = z_{\alpha/2}^2/(4E^2)$ değerini türetir.
- Küçük $n$ ya da uç $p$ için Wald aralığının kapsama oranının neden nominal düzeyin altına düştüğünü ve sınır dışına taştığını gösterir; Wilson ve Agresti–Coull aralıklarını hesaplar.
- İki bağımsız oran farkı $p_1-p_2$ için $(\hat p_1-\hat p_2) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p_1\hat q_1/n_1+\hat p_2\hat q_2/n_2}$ aralığını kurar ve 0'a göre yorumlar.
- Anket sonuçlarının hata payını doğru yorumlar ve 'önde / eşit' kararını güven aralığına bakarak verir.
Konu anlatımı
Motivasyon: Anketler ve Hata Payı
Wald Aralığının Türetimi
Örnek Büyüklüğü
Wald Aralığının Zayıf Yönleri: Wilson ve Agresti–Coull
İki Oran Farkı İçin Güven Aralığı
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Örnek oranı (sample proportion)
- $\hat p = X/n$; $p$ için yansız ve en çok olabilirlik tahmin edicisi, $\text{Var}(\hat p) = p(1-p)/n$.
- Wald aralığı
- $\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$; normal yaklaşıma dayanan standart oran aralığı.
- Hata payı (margin of error)
- Aralığın yarı genişliği $E$; ankette çoğunlukla $\hat p = 0{,}5$ için hesaplanır.
- En kötü durum örnek büyüklüğü
- $p(1-p) \le 1/4$ olduğundan $p$ bilinmeden $n = z_{\alpha/2}^2/(4E^2)$ yeterlidir.
- Normal yaklaşım koşulu
- $np$ ve $n(1-p)$ en az 10 (ya da 5); binom dağılımının yeterince simetrik olması için gerekir.
- Wilson aralığı
- Skor testinden türeyen, $[0,1]$ içinde kalan ve kapsama oranı Wald'dan iyi olan oran aralığı.
- Agresti–Coull aralığı
- Her gruba 2 başarı ve 2 başarısızlık ekleyerek $\tilde p = (x+2)/(n+4)$ ile kurulan pratik aralık.
- Kapsama olasılığı (coverage probability)
- Aralık kurma yönteminin gerçek $p$'yi içerme olasılığı; Wald için küçük $n$ ve uç $p$'de nominal düzeyin altındadır.
- Üç kuralı (rule of three)
- $n$ gözlemde hiç başarı yoksa %95 üst sınır $\approx 3/n$.
Örnek soru
400 kişilik bir örneklemde $\hat p = 0{,}42$ bulunmuştur. $\hat p$'nin standart hatasının tahmini $\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$ kaçtır?
- 0,0006
- 0,0324
- 0,4936
- 0,0247
- 0,0494
Doğru cevap: D
Çözüm
1. $\hat p(1-\hat p) = 0{,}42\cdot0{,}58 = 0{,}2436$.
2. $\text{SE} = \sqrt{0{,}2436/400} = \sqrt{0{,}000609} =$ 0,0247.
3. 0,0006 karekök alınmamış varyanstır; 0,0324 $\sqrt{\hat p/n}$ (tamamlayıcı $1-\hat p$ unutulmuş); 0,4936 $\sqrt{\hat p(1-\hat p)}$ ($n$'e bölünmemiş); 0,0494 SE'nin iki katıdır (yaklaşık hata payı $\sim 2\,\text{SE}$ ile karıştırılmış).
Cevap: D.