Matematik I · 7. Ünite: Diziler ve Seriler
Alterne Seriler ve Mutlak Yakınsaklık
$1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots$ serisi $\ln 2$'ye yakınsar, oysa terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan harmonik seri ıraksar. İşaret değiştiren serilerde terimlerin birbirini götürmesi yakınsaklığı kurtarabilir; ama bu kurtarmanın bedeli, yakınsaklığın "güvenli" olmamasıdır: terimlerin sırasını değiştirmek toplamı değiştirebilir. Bu konuda Leibniz (alterne seri) testini ispatlayacak, hata sınırını türetecek, mutlak ve şartlı yakınsaklığı ayıracak ve herhangi bir serinin tam sınıflandırmasını (mutlak yakınsak / şartlı yakınsak / ıraksak) yapmayı öğreneceksiniz.
Öğrenme hedefleri
- Alterne bir serinin $\sum (-1)^{n-1} b_n$ biçimine ($b_n>0$) indirgendiğini görür ve Leibniz testinin üç koşulunu ($b_n>0$, $b_n$ azalan, $b_n\to0$) tek tek denetler.
- Alterne seri tahmin teoremiyle $|S-S_N|\le b_{N+1}$ hata sınırını kullanır; verilen bir hata payı için gereken terim sayısını hesaplar.
- Mutlak yakınsaklık (absolute convergence) ile şartlı yakınsaklığı (conditional convergence) tanımlar; $\sum|a_n|$ yakınsaksa $\sum a_n$'in yakınsadığını ispatlar.
- Verilen bir serinin mutlak yakınsak, şartlı yakınsak ya da ıraksak olduğunu önceki testleri (n. terim, karşılaştırma, oran, Leibniz) sırasıyla uygulayarak belirler.
- $b_n\to0$ olduğu halde azalan olmayan alterne seri örneğiyle Leibniz testinde monotonluk koşulunun gerekliliğini gösterir.
- Şartlı yakınsak serilerde terimlerin yeniden düzenlenmesiyle toplamın değişebileceğini (Riemann teoremi) ve mutlak yakınsak serilerde bunun olmadığını yorumlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Terimlerin birbirini götürdüğü seriler
Alterne seri ve Leibniz testi
Alterne seri tahmin teoremi (hata sınırı)
Mutlak ve şartlı yakınsaklık
Sınıflandırma stratejisi ve Leibniz koşullarının gerekliliği
Çözümlü örnekler
Simülasyon, sınır durumları ve yanılgılar
Anahtar terimler
- Alterne seri (alternating series)
- Ardışık terimlerinin işareti zıt olan seri; $\sum(-1)^{n-1}b_n$, $b_n>0$.
- Leibniz testi (Alternating Series Test)
- $b_n>0$, azalan ve $b_n\to0$ ise $\sum(-1)^{n-1}b_n$ yakınsar.
- Alterne seri tahmin teoremi (Alternating Series Estimation)
- Leibniz koşulları sağlanırsa $|S-S_N|\le b_{N+1}$; hata, bırakılan ilk terimden küçüktür.
- Mutlak yakınsaklık (absolute convergence)
- $\sum|a_n|$'nin yakınsaması; mutlak yakınsak her seri yakınsaktır ve terimlerin sırası değiştirilebilir.
- Şartlı yakınsaklık (conditional convergence)
- $\sum a_n$ yakınsak, $\sum|a_n|$ ıraksak; örnek: alterne harmonik seri.
- Yeniden düzenleme (rearrangement)
- Terimlerin sırasının değiştirilmesi; Riemann teoremine göre şartlı yakınsak seride toplamı istenen herhangi bir sayı yapabilir.
- Alterne harmonik seri (alternating harmonic series)
- $\sum(-1)^{n-1}/n$; şartlı yakınsaktır ve toplamı $\ln 2$'dir.
- Kısmi toplam sarmalı (zigzag of partial sums)
- Alterne seride $S_{2m}<S<S_{2m+1}$; çift ve tek kısmi toplamlar limite iki taraftan yaklaşır.
Örnek soru
Aşağıdaki serilerden hangisi Alterne Seri (Leibniz) Testi'nin koşullarını doğrudan sağlar ve yakınsar?
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}$
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{n+1}$
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n (1{,}1)^n$
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt n}$
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n n$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. Leibniz koşulları: $b_n>0$, $b_n$ azalan, $b_n\to0$.
2. $b_n = 1/\sqrt n$ için üçü de sağlanır: pozitif, azalan, $0$'a gider. Seri yakınsar (şartlı, çünkü $\sum n^{-1/2}$ ıraksar).
3. Diğerleri: $n/(n+1)\to1\ne0$, $(1{,}1)^n\to\infty$ ve $n\to\infty$ terimleri $0$'a gitmez (n. terim testi ıraksar); $\sum1/\sqrt n$ ise alterne değil, $p=\tfrac12$ ile ıraksar.
Sonuç: $\sum(-1)^{n-1}/\sqrt n$.