Matematik I · 7. Ünite: Diziler ve Seriler
Kuvvet Serileri, Taylor ve Maclaurin
Hesap makineniz $\sin 0{,}5$ değerini nasıl hesaplar? Yalnızca toplama ve çarpma bilen bir işlemci, $\sin$, $\cos$, $e^x$, $\ln$ gibi fonksiyonları polinom toplamlarıyla yaklaşık hesaplar. Bu konuda kuvvet serilerinin ne zaman yakınsadığını (yakınsaklık yarıçapı ve aralığı), bir fonksiyonun Taylor ve Maclaurin serisini nasıl türeteceğinizi, yaklaşımın hatasını Lagrange kalan terimiyle nasıl sınırlayacağınızı ve serinin neden yalnızca belli bir aralıkta fonksiyona eşit olduğunu öğreneceksiniz. Sonunda $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln(1+x)$, $\arctan x$ ve $1/(1-x)$ açılımlarını kendiniz elde edebileceksiniz.
Öğrenme hedefleri
- $\sum c_n (x-a)^n$ kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını ($R$) oran ya da kök testiyle hesaplar ve uç noktaları ayrıca inceleyerek yakınsaklık aralığını yazar.
- $1/(1-x) = \sum x^n$ geometrik serisinden yerine koyma, terim terime türev ve integral alarak $1/(1+x^2)$, $\ln(1+x)$ ve $\arctan x$ serilerini türetir.
- $f(x)=\sum c_n(x-a)^n$ eşitliğinden $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ katsayı formülünü türetir ve verilen bir fonksiyonun Taylor / Maclaurin serisinin istenen terimlerini yazar.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ Maclaurin serilerini ezberlemeden türetir ve bunlardan $e^{2x}$, $x\cos x$, $\sin(x^2)$ gibi yeni seriler üretir.
- Taylor polinomunun hatasını Lagrange kalan terimiyle $|R_n(x)|\le M|x-a|^{n+1}/(n+1)!$ biçiminde sınırlar ve verilen hata payı için gereken dereceyi bulur.
- Bir Taylor serisinin yakınsak olmasının, o fonksiyona yakınsamasını gerektirmediğini yarıçap ve kalan terim üzerinden yorumlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Fonksiyonları polinomlarla hesaplamak
Kuvvet serisi ve yakınsaklık yarıçapı
Geometrik seriden yeni seriler: yerine koyma, türev, integral
Taylor ve Maclaurin serileri: katsayıların türetilmesi
Taylor polinomu, Lagrange kalan terimi ve hata
Çözümlü örnekler
Simülasyon, sınır durumları ve yanılgılar
Anahtar terimler
- Kuvvet serisi (power series)
- $\sum c_n(x-a)^n$ biçimindeki, $a$ merkezli sonsuz polinom; her $x$ için ayrı bir sayısal seri verir.
- Yakınsaklık yarıçapı (radius of convergence)
- $|x-a|<R$ için mutlak yakınsak, $|x-a|>R$ için ıraksak olan $R\in[0,\infty]$ sayısı; $R=\lim|c_n/c_{n+1}|$.
- Yakınsaklık aralığı (interval of convergence)
- Serinin yakınsadığı bütün $x$'lerin kümesi; $R$ ve uç noktaların ayrı incelenmesiyle bulunur.
- Taylor serisi (Taylor series)
- $\sum \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$; katsayılar $c_n=f^{(n)}(a)/n!$ ile türetilir.
- Maclaurin serisi (Maclaurin series)
- $a=0$ merkezli Taylor serisi; $e^x,\ \sin x,\ \cos x,\ \ln(1+x),\ \arctan x$ temel örneklerdir.
- Taylor polinomu (Taylor polynomial)
- Taylor serisinin ilk $n+1$ terimi $T_n(x)$; $a$ yakınında $f$'ye $n$. türev düzeyinde teğet olan polinom.
- Kalan terim (remainder)
- $R_n(x)=f(x)-T_n(x)$; Lagrange biçimi $\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$.
- Terim terime türev/integral (term-by-term differentiation)
- Yakınsaklık aralığının içinde kuvvet serisinin terimlerini türetip integre etmek; yarıçap değişmez.
- Analitik fonksiyon (analytic function)
- Taylor serisi kendisine yakınsayan fonksiyon; $e^{-1/x^2}$ gibi sonsuz türevlenebilir ama analitik olmayan fonksiyonlar vardır.
Örnek soru
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı kaçtır?
- $e$
- $\infty$
- $0$
- $2$
- $1$
Doğru cevap: E
Çözüm
1. $c_n = 1/n$ için $\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right| = \dfrac{n+1}{n} \to 1$; yani $R = 1$.
2. Eşdeğer: oran testi ile $\left|\dfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right| = |x|\dfrac{n}{n+1} \to |x| < 1$.
3. Uç noktalar ayrıca incelenir: $x=1$ harmonik (ıraksak), $x=-1$ alterne harmonik (yakınsak); aralık $[-1,1)$, yarıçap yine $1$.
Sonuç: $R=1$. $e$ çeldiricisi "faktöriyelli serilere ait $R=\infty$ ya da $e$ ile bağ" yanılgısıdır; burada faktöriyel yoktur.