Matematik I · 2. Ünite: Türev
Bağlı Oranlar (Related Rates)
Bir balona hava üflerken hacim sabit bir hızla artar, ama yarıçap aynı hızla büyümez; duvara dayalı bir merdivenin alt ucu sabit hızla çekilirken üst ucu giderek hızlanarak iner. Bu örneklerde zamanla değişen niceliklerin değişim hızları geometrik ya da fiziksel bir denklemle birbirine bağlıdır. Bu konunun sonunda böyle bir ilişkiyi zamana göre türevleyip (zincir kuralı) bilinen bir hızdan bilinmeyen hızı bulabilir, sabit ve değişen nicelikleri doğru ayırabilir ve sonucun fiziksel anlamını (işaret, birim, sınır durumu) yorumlayabilirsiniz.
Öğrenme hedefleri
- Bir fiziksel ya da geometrik durumdaki nicelikleri $x(t)$, $y(t)$, $V(t)$ gibi zamanın fonksiyonları olarak adlandırır ve bunları birbirine bağlayan tek bir denklem kurar.
- Kurduğu denklemin iki tarafını $t$'ye göre zincir kuralıyla türevler; örneğin $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ denkleminden $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ ilişkisini elde eder.
- Sabit niceliklerin sayısal değerlerini türevden önce, anlık değerleri türevden sonra yerine koyma kuralını uygular ve bu kuralın ihlalinin hangi hataya yol açtığını açıklar.
- Pisagor teoremi, benzer üçgenler, hacim formülleri ve $\tan\theta$ bağıntısından yararlanarak merdiven, gölge, koni ve kamera problemlerinde bilinmeyen hızı hesaplar.
- Bulunan hızın işaretini (artma ya da azalma) ve $y \to 0$ ya da $r \to 0$ gibi sınır durumlarındaki davranışını (hızın sınırsız büyümesi) yorumlar.
Konu anlatımı
1. Bağlam: Hacim sabit hızla artarken yarıçap neden yavaşlar?
2. Tanım ve temel teorem: denklemin zamana göre türevi
3. Çözüm stratejisi ve en sık yapılan sıralama hatası
4. Çözümlü örnekler
5. Sınır durumları ve karşı örnekler
6. Tablo ve grafik yorumu
7. Simülasyona köprü
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Bağlı oranlar (related rates)
- Zamanla değişen niceliklerin bir denklemle bağlı olması nedeniyle değişim hızlarının da birbirine bağlı olduğu problem türü.
- Zincir kuralı (chain rule)
- Bileşke fonksiyonun türevinin dış türev ile iç türevin çarpımı olduğunu söyleyen kural; zamana göre türevde $\frac{d}{dt}f(x(t)) = f'(x)\,x'(t)$.
- Değişim hızı (rate of change)
- Bir niceliğin zamana göre türevi; işareti artma (pozitif) ya da azalma (negatif) yönünü gösterir.
- Bağ denklemi (constraint equation)
- Zamanla değişen nicelikleri birbirine bağlayan, her an geçerli geometrik ya da fiziksel denklem (Pisagor, hacim, benzerlik).
- Benzer üçgenler (similar triangles)
- Karşılıklı kenar oranları eşit olan üçgenler; koni ve gölge problemlerinde değişkenleri birbirine bağlamak için kullanılır.
- Anlık değer (instantaneous value)
- Bir niceliğin belirli bir $t_0$ anındaki değeri; değişen niceliklerde türevden sonra yerine konur.
- Sabit ve değişen nicelik (constant and varying quantity)
- Zamanla değişmeyen nicelik (merdivenin boyu) türevinde sıfır verir; değişen nicelik türevde hız çarpanı üretir.
- Radyan (radian)
- Açı birimi; açısal hız içeren bağlı oranlar problemlerinde türev işlemi radyan cinsinden yapılır.
Örnek soru
Bir kenarı $x$ olan karenin alanı saniyede $10\,\text{cm}^2$ hızla artmaktadır. Alan $100\,\text{cm}^2$ olduğu anda bir kenarın uzunluğunun artış hızı $\frac{dx}{dt}$ kaç cm/s'dir?
- $0{,}1$
- $0{,}5$
- $1$
- $5$
- $10$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Bağ denklemi $A = x^2$; her iki tarafı $t$'ye göre türevleyelim: $\frac{dA}{dt} = 2x\,\frac{dx}{dt}$.
2. Anlık değer: $A = 100$ olduğundan $x = 10\,\text{cm}$.
3. Yerine koyalım: $10 = 2\cdot 10\cdot \frac{dx}{dt}$, dolayısıyla $\frac{dx}{dt} = \frac{10}{20}$.
4. $\frac{dx}{dt} = 0{,}5\,\text{cm/s}$
En güçlü çeldirici $1$'dir: $\frac{dA}{dt} = x\,\frac{dx}{dt}$ yazıp $2$ çarpanını (üstel türevini) unutmaktan çıkar; $0{,}1$ ise $\frac{dx}{dt}$ yerine $A$ ile bölmekten çıkar.