Matematik I · 2. Ünite: Türev
Kapalı Fonksiyonların Türevi
Çember, elips ve Descartes yaprağı gibi eğriler $y = f(x)$ biçiminde tek bir formülle yazılamaz; ama her noktalarında bir teğetleri vardır. Bu konuda $F(x,y)=0$ denkleminin iki yanını $x$'e göre türeterek $y$ yalnız bırakılmadan $dy/dx$ bulmayı, formülü zincir kuralından türetmeyi, teğet ve normal doğrularını, ikinci türevi ve dikey ya da yatay teğet noktalarını incelersiniz. Simülasyonda aynı $x$ için birden çok kolu ve onların farklı eğimlerini görürsünüz.
Öğrenme hedefleri
- Açık ($y=f(x)$) ve kapalı ($F(x,y)=0$) tanımlı eğriyi ayırt eder; bir denklemin bir fonksiyonu tek bir yerel kolda tanımladığını gerekçelendirir.
- $F(x,y)=0$ denkleminin iki yanını $x$'e göre türeterek $y'$ içeren terimleri toplar ve $dy/dx$'i çözer.
- $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}$ formülünü zincir kuralından türetir ve $F_y=0$ iken teğetin dikey olduğunu yorumlar.
- Kapalı eğrinin verilen noktadaki teğet ve normal doğrularının denklemini yazar; noktanın eğri üzerinde olup olmadığını önce denetler.
- Kapalı türevi bir kez daha türeterek $y''$ değerini $x$ ve $y$ cinsinden ifade eder; $y'$'yi yerine koyarak sadeleştirir.
- Kapalı türev yöntemiyle $\arcsin x$ ve rasyonel kuvvetlerin türevini elde eder; yatay ve dikey teğet noktalarını $F_x=0$ ve $F_y=0$ koşullarıyla bulur.
Konu anlatımı
Bağlam: Her eğri bir fonksiyon grafiği değildir
Açık ve kapalı tanım; yerel fonksiyon fikri
Yöntem ve $dy/dx = -F_x/F_y$ formülü
Çözümlü örnekler
Sınır durumları ve tuzaklar
Tablo ve grafik yorumu; simülasyona köprü
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Kapalı fonksiyon / denklem (implicit function)
- y'nin x cinsinden tek başına yazılmadığı F(x, y) = 0 biçimindeki tanım; yerel olarak bir y(x) kolu tanımlayabilir.
- Açık fonksiyon (explicit function)
- y = f(x) biçiminde, y'nin yalnızca x'e bağlı bir ifadeyle verildiği tanım.
- Kapalı türev alma (implicit differentiation)
- Denklemin iki yanını x'e göre türetip y'li terimlerde zincir kuralı gereği y' çarpanı ekleyerek dy/dx'i çözme yöntemi.
- Kısmi türev (partial derivative)
- Diğer değişken sabit tutularak alınan türev: Fₓ x'e, F_y y'ye göre; dy/dx = −Fₓ/F_y.
- Kol (branch)
- Aynı x değerine karşılık gelen eğrinin ayrı y değerlerinden her biri; her kolun kendi teğeti ve eğimi vardır.
- Dikey teğet (vertical tangent)
- F_y = 0 ve Fₓ ≠ 0 olan noktada teğet doğrusu düşeydir; dy/dx tanımsızdır.
- Tekil nokta / düğüm (singular point, node)
- Fₓ = F_y = 0 olan noktada tek bir eğim yoktur; eğri kendini keserek birden çok teğet verebilir.
- Normal doğrusu (normal line)
- Eğriye değme noktasında teğete dik doğru; eğimi, teğet eğiminin negatif çarpmaya göre tersidir.
Örnek soru
$x^2 + 4y^2 = 20$ elipsinin $(2,2)$ noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
- $-4$
- $-1$
- $\dfrac{1}{4}$
- $-\dfrac{1}{4}$
- $1$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Nokta eğri üzerindedir: $4 + 16 = 20$.
2. Denklemin iki yanını $x$'e göre türet: $2x + 8y\,y' = 0$, yani $y' = -\dfrac{x}{4y}$.
3. $(2,2)$'de $y' = -\dfrac{2}{8} = $ $-\dfrac{1}{4}$.
Çeldiriciler: $-4$ ters oranı alır ($-8y/2x$); $-1$ $4y^2$ teriminin türevinde $4$ çarpanını unutur ($2yy'$ yazar); $+\dfrac14$ işareti kaçırır; $1$ iki hatayı birleştirir.