Matematik I · 3. Ünite: Türevin Uygulamaları
Birinci Türev Testi ve Eğrinin Yönü (Artan/Azalan)
Bir fonksiyonun grafiği yukarı mı yoksa aşağı mı gidiyor ve nerede dönüyor? Bu soru, bir şirketin kârının hangi üretim düzeyinde en yüksek olduğunu, bir cismin konumunun ne zaman geri döndüğünü ve bir ilacın kandaki derişiminin ne zaman zirve yaptığını bulmanın özüdür. Türevin işareti artan ve azalan bölgeleri belirler, işaretin değiştiği kritik noktalar ise yerel ekstremumları verir. Bu konuda artan/azalan testini Ortalama Değer Teoremi'nden ispatlar, Birinci Türev Testi'ni kurar ve işaret tablosu yöntemiyle fonksiyonun yönünü ve ekstremumlarını sistematik biçimde belirlersiniz.
Öğrenme hedefleri
- Artan ve azalan fonksiyonu tanımlar ($x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ gibi) ve bir aralıkta $f'>0$ ya da $f'<0$ olmasının artan/azalan olmayı gerektirdiğini MVT ile gösterir.
- Kritik noktaları bulup $f'$ işaret tablosunu kurarak $f$'nin artan ve azalan aralıklarını yazar.
- Birinci Türev Testi'ni uygulayarak her kritik noktayı yerel maksimum, yerel minimum ya da ekstremum değil olarak sınıflandırır.
- $f'(c)=0$ olduğu hâlde işaret değişmeyen ($x^3$, $(x-1)^3$) ve $f'(c)$ tanımsız olduğu hâlde ekstremum olan ($x^{2/3}$, $|x|$) noktaları ayırt eder.
- Verilen $f'$ ifadesinden ya da işaret tablosundan $f$'nin yerel ve mutlak ekstremumlarını (açık ve sonsuz aralıklarda limit davranışıyla birlikte) belirler.
- Parametreli bir fonksiyonun bir aralıkta artan olması koşulunu $f'\ge0$ eşitsizliğiyle çözerek parametre aralığını bulur.
Konu anlatımı
Bağlam: grafiğin yönü ve dönüş noktaları
Artan ve azalan fonksiyonlar; artan/azalan testi
Birinci Türev Testi (First Derivative Test)
Çözümlü örnekler
Yerel ekstremumdan mutlak ekstremuma ve sınır durumları
Simülasyonda gözlem: f ve f′ grafikleri alt alta
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Artan fonksiyon (increasing function)
- Aralıkta $x_1<x_2$ olduğunda $f(x_1)<f(x_2)$ olan fonksiyon; $f'>0$ yeterli koşuldur.
- Azalan fonksiyon (decreasing function)
- Aralıkta $x_1<x_2$ olduğunda $f(x_1)>f(x_2)$ olan fonksiyon; $f'<0$ yeterli koşuldur.
- Artan/Azalan Testi
- Aralıkta $f'>0$ ise $f$ artan, $f'<0$ ise azalandır; MVT'nin sonucudur.
- Birinci Türev Testi (First Derivative Test)
- Kritik noktada $f'$'nin işaret değişimine bakarak yerel maksimum, minimum ya da ekstremum olmadığına karar verme yöntemi.
- İşaret tablosu (sign chart)
- Kritik noktalarla bölünmüş aralıklarda $f'$'nin işaretini gösteren tablo.
- Yerel maksimum
- Komşuluğundaki tüm $x$ için $f(x)\le f(c)$ olan $f(c)$; $f'$ burada $+\to-$ geçer.
- Yerel minimum
- Komşuluğundaki tüm $x$ için $f(x)\ge f(c)$ olan $f(c)$; $f'$ burada $-\to+$ geçer.
- Sivri uç (cusp)
- Türevin tanımsız olduğu, teğetin dikey olduğu nokta ($x^{2/3}$ gibi); ekstremum olabilir.
Örnek soru
$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ fonksiyonu hangi aralıklarda artandır?
- $(-1,3)$
- $(-\infty,-3)$ ve $(1,\infty)$
- $(-\infty,3)$
- $(-\infty,-1)$ ve $(3,\infty)$
- $(-3,1)$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$; kritik noktalar $x=-1$ ve $x=3$.
2. $f'>0$ olan bölge: $x<-1$ (iki çarpan da negatif) ve $x>3$ (iki çarpan da pozitif).
3. $(-1,3)$'te $f'<0$, yani azalandır.
Sonuç: $(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$. Çeldirici $(-\infty,-3)\cup(1,\infty)$ kökleri işaret değiştirerek ($-1,3$ yerine $-3,1$) yazmaktan gelir; $(-1,3)$ ise azalan aralığın kendisidir.