Matematik I · 3. Ünite: Türevin Uygulamaları
Ortalama Değer Teoremi (Mean Value Theorem)
Bir araç iki saatte $260\,\text{km}$ gidiyorsa ortalama hızı $130\,\text{km/h}$'tır; peki yolculuğun bir anında hız göstergesi tam olarak $130\,\text{km/h}$ gösterir mi? Ortalama Değer Teoremi (Mean Value Theorem, MVT) bu soruya "evet" der ve bunu bir ispatla yapar. Rolle Teoremi'nden başlayıp MVT'yi ispatlar, koşulların neden gerekli olduğunu karşı örneklerle görür ve teoremin en önemli sonuçlarını (türevi sıfır olan fonksiyon sabittir; türevi pozitif olan fonksiyon artandır; eşitsizlik ispatları) elde edersiniz. Bu sonuçlar sonraki konuların, birinci türev testinin ve konkavlığın temelidir.
Öğrenme hedefleri
- Rolle Teoremi'ni ve Ortalama Değer Teoremi'ni koşullarıyla (kapalı aralıkta süreklilik, açık aralıkta türevlenebilirlik) ifade eder; verilen fonksiyonun koşulları sağlayıp sağlamadığını denetler.
- $f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ eşitliğini sağlayan $c$ değerlerini hesaplar ve $c$'nin geometrik anlamını (sekanta paralel teğet) yorumlar.
- MVT'yi Rolle Teoremi'nden yardımcı $g(x)=f(x)-f(a)-m(x-a)$ fonksiyonuyla ispatlar.
- $|x|$, $x^{2/3}$ ve $1/x$ örnekleriyle teoremin hangi koşulunun bozulduğunu belirler ve sonucun neden başarısız olduğunu açıklar.
- MVT'nin sonuçlarını kullanarak $f'=0 \Rightarrow f$ sabit, $f'=g' \Rightarrow f-g$ sabit sonuçlarını uygular; kök sayısı ve eşitsizlik problemlerini çözer.
- Ortalama hız ile anlık hız arasındaki ilişkiyi MVT yardımıyla yorumlar (hız sınırı ihlali, yarış problemi).
Konu anlatımı
Bağlam: ortalama hız ile anlık hız
Rolle Teoremi
Ortalama Değer Teoremi ve ispatı
Çözümlü örnekler: c değerlerini bulmak
MVT'nin sonuçları
Simülasyonda gözlem: sekant ve paralel teğet
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Rolle Teoremi
- $[a,b]$'de sürekli, $(a,b)$'de türevlenebilir ve $f(a)=f(b)$ olan fonksiyon için $f'(c)=0$ olan bir $c$ vardır.
- Ortalama Değer Teoremi (Mean Value Theorem)
- Sürekli ve türevlenebilir $f$ için $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ olacak şekilde bir $c\in(a,b)$ vardır.
- Sekant doğrusu (secant line)
- Eğri üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru; eğimi ortalama değişim hızıdır.
- Ortalama değişim hızı
- $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$; sekantın eğimi (konum için ortalama hız).
- Anlık değişim hızı
- Türev $f'(c)$; teğetin eğimi.
- Sabit fonksiyon sonucu
- Aralıkta $f'=0$ ise $f$ sabittir; $f'=g'$ ise $f-g$ sabittir.
- Artan fonksiyon testi
- Aralıkta $f'>0$ ise $f$ artandır; MVT'nin doğrudan sonucudur.
- Kök sayısı için Rolle
- $f$'nin $n$ kökü varsa $f'$'nin en az $n-1$ kökü vardır; $f'\neq0$ ise $f$'nin en çok bir kökü vardır.
Örnek soru
$f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonu için $[1, 4]$ aralığında Ortalama Değer Teoremi'ni sağlayan $c$ değeri kaçtır?
- $2$
- $\dfrac{5}{2}$
- $\dfrac{3}{2}$
- $3$
- $\dfrac{7}{2}$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ ve $f(4) = 16 - 16 + 3 = 3$; sekant eğimi $\dfrac{3-0}{4-1}=1$.
2. $f'(c) = 2c - 4$ olduğundan $2c-4=1 \Rightarrow c=\dfrac52$.
3. $c = 2{,}5\in(1,4)$ olduğundan kabul edilir.
Sonuç: $c = 5/2$. Parabolde $c$ aralığın orta noktasındadır: $\dfrac{1+4}{2}=\dfrac52$. Çeldirici $2$, parabolün tepe noktasıdır ($f'=0$ yeri); bu Rolle'deki $c$ olurdu, MVT'deki değil.