Matematik I · 2. Ünite: Türev
Çarpım, Bölüm ve Zincir Kuralı
Toplamın türevi terim terim alınır, ama çarpımın, bölümün ve bileşkenin türevi bu kadar basit değildir: türevlerin çarpımı ya da bölümü yanlış sonuç verir. Bu konuda üç kuralın nereden geldiğini limit tanımından türetir, her birinin hangi koşulda geçerli olduğunu inceler ve gerçek türev ile sık yapılan hatalı formülü aynı grafikte karşılaştırırsınız. Sonunda iç içe geçmiş fonksiyonları dıştan içe doğru güvenle türetebilirsiniz.
Öğrenme hedefleri
- Çarpım kuralını $(fg)' = f'g + fg'$ limit tanımından türetir ve iki ya da daha çok çarpanlı ifadelere uygular.
- Bölüm kuralını $(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$ çarpım ve zincir kuralından türetir; $g(a)=0$ olduğunda kuralın neden uygulanamadığını açıklar.
- Zincir kuralını $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ biçiminde yazar ve üç ya da daha fazla katmanlı bileşkelere dıştan içe uygular.
- $\sec x$, $\tan x$, $\cot x$, $\csc x$ türevlerini bölüm kuralıyla elde eder.
- $f'g'$, $f'/g'$ ve $f'(x)g'(x)$ gibi hatalı formüllerin karşı örnekle neden yanlış olduğunu gösterir.
- Tablo ya da grafikten okunan $f(a)$, $f'(a)$, $g(a)$, $g'(a)$ değerlerinden bileşke, çarpım ve bölümün türevini $a$ noktasında hesaplar.
Konu anlatımı
Bağlam: Toplam kolay, çarpım zor
Çarpım kuralı (Product Rule)
Bölüm kuralı (Quotient Rule) ve trigonometrik türevler
Zincir kuralı (Chain Rule)
Çözümlü örnekler
Sınır durumları ve karşı örnekler
Grafik ve tablo yorumu; simülasyona köprü
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Çarpım kuralı (product rule)
- İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi: (fg)' = f'g + fg'.
- Bölüm kuralı (quotient rule)
- g ≠ 0 iken (f/g)' = (f'g − fg')/g². Payda, paydanın karesidir.
- Zincir kuralı (chain rule)
- Bileşke fonksiyonun türevi: (f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x); dış fonksiyonun türevi iç fonksiyonun değerinde okunur.
- Bileşke fonksiyon (composite function)
- f∘g(x) = f(g(x)) olarak tanımlanan iç içe fonksiyon; g iç, f dış fonksiyondur.
- Türevlenebilir (differentiable)
- Bir noktada türev limiti var ve sonlu ise fonksiyon o noktada türevlenebilirdir; türevlenebilir fonksiyon süreklidir.
- Genelleştirilmiş kuvvet kuralı (generalized power rule)
- [u(x)]ⁿ'in türevi n·uⁿ⁻¹·u'; zincir kuralının kuvvet fonksiyonu için özel biçimidir.
- Fark bölümü (difference quotient)
- [f(x+h) − f(x)]/h ifadesi; limiti h→0 iken türevi verir.
- Eğim ve teğet doğrusu (tangent line)
- x = a noktasında y − f(a) = f'(a)(x − a) denklemiyle verilen, eğriye o noktada en iyi yaklaşan doğru.
Örnek soru
$f(x) = x^2\sin x$ fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?
- $2x\cos x$
- $2x\sin x - x^2\cos x$
- $2x\sin x + x^2\cos x$
- $x^2\cos x$
- $2x\sin x$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Çarpanlar $u = x^2$ ve $v = \sin x$ olsun. Çarpım kuralı: $(uv)' = u'v + uv'$.
2. $u' = 2x$ ve $v' = \cos x$ olduğundan $f'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$.
3. Sonuç: $2x\sin x + x^2\cos x$.
En güçlü çeldirici $2x\cos x$'tir: $u'v'$ çarpımını alır, ancak çarpımın türevi türevlerin çarpımı değildir. Ayrıca $x^2\cos x$ yalnızca ikinci terimdir ($uv'$) ve birinci terim ($u'v$) eksiktir.